Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi la distance de freinage augmente-t-elle bien plus vite que la vitesse ?

Q: Convertissez 90 km/h en m/s.

$(90 000)/(3 600)=25$ m/s : on divise par 3,6.

Q: Démontrez la relation v² = v₀² − 2ad.

En éliminant $t=(v₀-v)/a$ dans $x$ : $x=(v₀²-v²)/2a$.

Q: Quelle vitesse donne une distance de freinage deux fois plus grande qu'à 50 km/h ?

Il faut multiplier $v$ par $sqrt2$ : environ 71 km/h.

Avec une décélération constante a, la distance de freinage vaut v²/(2a) : 14 m à 50 km/h, 45 m à 90 km/h, soit 3,2 fois plus pour une vitesse 1,8 fois plus grande.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En préparant le code de la route, j'ai lu qu'à 90 km/h la distance de freinage est plus de trois fois celle à 50 km/h. Cela m'a surpris : la vitesse n'est même pas multipliée par deux. J'ai voulu démontrer cette règle avec les équations du mouvement et comprendre pourquoi quelques km/h de plus changent tout.

L'enjeu et les notions du programme

Établir les équations d'un mouvement uniformément décéléré par primitivation, et interpréter une dépendance quadratique.

Mathématiques

Primitives, conditions initiales (terminale)
Fonction carré, second degré (seconde, première)
Proportionnalité au carré : effet d'un coefficient multiplicateur (seconde)

Physique-chimie

Mouvement rectiligne uniformément accéléré : équations horaires (terminale)
Énergie cinétique, théorème de l'énergie cinétique (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La distance d'arrêt est la somme de la distance parcourue pendant le temps de réaction et de la distance de freinage. Problématique : comment la distance de freinage dépend-elle de la vitesse ?
2. Équations du mouvement
3,5 min
On suppose une décélération constante $a > 0$ a>0 (environ $7$ 7 m/s² sur route sèche). Axe dans le sens du mouvement : $v^{'} (t) = - a$ v'(t)=-a. En primitivant avec $v (0) = v_{0}$ v(0)=v₀ puis $x (0) = 0$ x(0)=0 : $v (t) = v_{0} - a t$ v(t)=v₀-at et $x (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} a t^{2}$ x(t)=v₀t-1/2at².
La voiture s'arrête quand $v = 0$ v=0, soit $t_{f} = \frac{v _{0}}{a}$ t_f=v₀/a. Alors $d = x (t_{f}) = \frac{v _{0}^{2}}{a} - \frac{v _{0}^{2}}{2 a} = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ d=x(t_f)=v₀²/a-v₀²/2a=v₀²/2a.
Vérification énergétique : la force de freinage $ma$ ma travaille sur la distance $d$ d et annule l'énergie cinétique $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ 1/2mv₀² : $ma d = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$ mad=1/2mv₀², on retrouve $d = \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ d=v₀²/2a.
3. Lecture mathématique : l'effet du carré
3,5 min
$d$ d est proportionnelle au carré de la vitesse : multiplier $v_{0}$ v₀ par $k$ k multiplie $d$ d par $k^{2}$ k². De 50 à 90 km/h, $k = 1, 8$ k=1,8 et $k^{2} = 3, 24$ k²=3,24.
Valeurs avec $a = 7$ a=7 m/s² : à 50 km/h ( $13, 9$ 13,9 m/s), $d \approx 13, 8$ d≈13,8 m ; à 90 km/h ( $25$ 25 m/s), $d \approx 44, 6$ d≈44,6 m ; à 130 km/h, $d \approx 93$ d≈93 m. En ajoutant une seconde de réaction ( $v_{0} \times 1$ v₀×1 s, terme linéaire), la distance d'arrêt $v_{0} + \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ v₀+v₀²/2a vaut $28$ 28 m, $70$ 70 m et $129$ 129 m : un trinôme en $v_{0}$ v₀.
Conséquence : là où une voiture roulant à 50 km/h s'arrête ( $27, 7$ 27,7 m), une voiture lancée à 60 km/h roule encore. Après sa seconde de réaction ( $16, 7$ 16,7 m), elle n'a freiné que sur $11$ 11 m, et $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 a d$ v²=v₀²-2ad donne encore $v \approx 11, 1$ v≈11,1 m/s, soit 40 km/h.
4. Conclusion
2 min
La distance de freinage croît comme le carré de la vitesse, parce que l'énergie cinétique à dissiper est proportionnelle à $v^{2}$ v² alors que la force de freinage est limitée. J'ouvre sur la route mouillée : l'adhérence diminue, $a$ a peut être divisée par deux, et la distance de freinage doublée.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

v (t) = v_{0} - a t, x (t) = v_{0} t - \frac{1}{2} a t^{2}, d = \frac{v _{0}^{2}}{2 a} v(t)=v₀-at, x(t)=v₀t-1/2at², d=v₀²/2a \frac{d _{90}}{d _{50}} = (\frac{90}{50})^{2} = 3, 24 d₉₀/d₅₀=(90/50)²=3,24 d_{arr \overset{e}{ˆ} t} = v_{0} t_{r} + \frac{v _{0}^{2}}{2 a} : 28 m (50), 70 m (90), 129 m (130) d_ arrêt =v₀ t_r+v₀²/2a: 28 m (50), 70 m (90), 129 m (130)

Conclusion : la réponse à la question

La distance de freinage vaut $\frac{v _{0}^{2}}{2 a}$ v₀²/2a : elle est proportionnelle au carré de la vitesse. Rouler 1,8 fois plus vite oblige à freiner sur plus de 3 fois plus de distance, d'où l'importance des limitations de vitesse.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Convertissez 90 km/h en m/s.

$\frac{90 000}{3 600} = 25$ (90 000)/(3 600)=25 m/s : on divise par 3,6.

Démontrez la relation v² = v₀² − 2ad.

En éliminant $t = \frac{v _{0} - v}{a}$ t=(v₀-v)/a dans $x$ x : $x = \frac{v _{0}^{2} - v ^{2}}{2 a}$ x=(v₀²-v²)/2a.

Pourquoi la décélération est-elle limitée ?

La force de freinage est transmise par le frottement des pneus sur la route, qui ne peut dépasser une fraction du poids : a ne dépasse pas environ μg.

Quelle vitesse donne une distance de freinage deux fois plus grande qu'à 50 km/h ?

Il faut multiplier $v$ v par $2$ sqrt2 : environ 71 km/h.

Un camion plus lourd freine-t-il sur une plus grande distance ?

Dans ce modèle, non : la décélération maximale μg ne dépend pas de la masse. En pratique, les freins et les pneus d'un camion limitent davantage a.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la distance de freinage est proportionnelle à la vitesse.
Oublier de convertir les km/h en m/s.
Confondre distance de freinage et distance d'arrêt.

Revoir les notions

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