Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi faut-il lancer à 45° pour envoyer un objet le plus loin possible ?

Q: Pourquoi la masse n'intervient-elle pas ?

Elle se simplifie dans $m vecteur a =m vecteur g $ : tous les corps ont la même accélération en l'absence d'air.

Q: Quelle est la hauteur maximale à 45° avec 20 m/s ?

Au sommet $v_y=0$ : $h=(v₀sinα)²/2g=200/20=10$ m.

Q: Combien de temps dure le vol à 45° ?

$y=0$ pour $t=2v₀sinα/g=2sqrt2≈2,8$ s.

Q: Démontrez sin(2α) = 2 sin α cos α.

C'est la formule d'addition $sin(a+b)=sin acos b+cos asin b$ avec $a=b=α$. On peut aussi maximiser $α↦sinαcosα$ en dérivant : $cos²α-sin²α=0$ donne $α=45°$.

La deuxième loi de Newton donne une trajectoire parabolique et une portée v₀² sin(2α)/g, maximale pour α = 45° : 40 m pour un lancer à 20 m/s, contre 34,6 m à 30° ou 60°.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Au lancer de javelot en EPS, mon professeur nous a conseillé de lancer « à peu près à 45° ». Je me suis demandé d'où venait ce chiffre et s'il était exact. En terminale, j'ai pu établir l'équation de la trajectoire en physique, puis chercher son maximum avec les outils de mathématiques : la réponse tient dans une formule de trigonométrie.

L'enjeu et les notions du programme

Relier la deuxième loi de Newton à des primitives, puis optimiser une fonction trigonométrique : une question où la physique fournit le modèle et les mathématiques la réponse.

Mathématiques

Primitives et équations différentielles y' = f (terminale)
Fonctions trigonométriques, formule sin 2α = 2 sin α cos α (première, terminale)
Second degré : racines d'un trinôme (première)

Physique-chimie

Deuxième loi de Newton (terminale)
Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme : équations horaires, trajectoire (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : un conseil de sportif
1 min
On lance un objet depuis le sol avec une vitesse $v_{0}$ v₀ faisant un angle $α$ α avec l'horizontale, en négligeant l'air. Problématique : quel angle donne la plus grande portée, et pourquoi ?
2. Physique : les équations du mouvement
3,5 min
Seul le poids agit : la deuxième loi de Newton donne $m a = m g$ m vecteur a =m vecteur g, donc $a = g$ vecteur a = vecteur g, indépendamment de la masse. Avec un axe $O x$ Ox horizontal et $O y$ Oy vertical vers le haut : $a_{x} = 0$ aₓ=0, $a_{y} = - g$ a_y=-g.
En primitivant avec les conditions initiales $v_{x} (0) = v_{0} cos α$ vₓ(0)=v₀cosα, $v_{y} (0) = v_{0} sin α$ v_y(0)=v₀sinα, $x (0) = y (0) = 0$ x(0)=y(0)=0 : $x (t) = v_{0} cos α t$ x(t)=v₀cosα t et $y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t$ y(t)=-1/2gt²+v₀sinα t. En éliminant $t = \frac{x}{v _{0} c o s α}$ t=x/v₀cosα : $y = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} α} x^{2} + x tan α$ y=-g/2v₀²cos²alphax²+xtanα, une parabole.
3. Mathématiques : maximiser la portée
4 min
L'objet retombe quand $y = 0$ y=0 avec $x > 0$ x>0 : $x (tan α - \frac{g x}{2 v _{0}^{2} c o s ^{2} α}) = 0$ x(tanα-(g x)/2v₀²cos²α)=0, d'où $x = \frac{2 v _{0}^{2} s i n α c o s α}{g} = \frac{v _{0}^{2} s i n ( 2 α )}{g}$ x=2v₀²sinαcosα/g=v₀²sin(2α)/g.
La portée est maximale quand $sin (2 α) = 1$ sin(2α)=1, soit $2 α = 90°$ 2α=90°, donc $α = 45°$ α=45°. Avec $v_{0} = 20$ v₀=20 m/s et $g = 10$ g=10 m/s² : $40$ 40 m à 45°, et $40 \times \frac{3}{2} \approx 34, 6$ 40×sqrt3/2≈34,6 m à 30° comme à 60°, car $sin (2 α) = sin (180° - 2 α)$ sin(2α)=sin(180°-2α) : deux angles complémentaires donnent la même portée.
Dans la réalité, l'athlète lance d'une certaine hauteur et l'air freine l'objet : l'angle optimal du lancer de poids est plutôt de 37 à 40°. Le modèle donne la tendance, pas la valeur exacte.
4. Conclusion
1,5 min
Sans frottements et depuis le sol, 45° est l'angle optimal, parce que la portée est proportionnelle à $sin (2 α)$ sin(2α). J'ouvre sur la balistique : en tenant compte de l'air, on ne sait plus résoudre à la main, et on calcule la trajectoire par une méthode numérique pas à pas.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

a = g \Rightarrow x (t) = v_{0} cos α t, y (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} sin α t vecteur a = vecteur g \Rightarrow x(t)=v₀cosα t, y(t)=-1/2gt²+v₀sinα t y = - \frac{g}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} x^{2} + x tan α port \overset{e}{ˊ} e = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g} y=-g/2v₀²cos²α x²+xtanα portée =v₀²sin(2α)/g v_{0} = 20 m/s : 40 m (45°), 203 \approx 34, 6 m (30° ou 60°) v₀=20 m/s : 40 m (45°), 20sqrt3\approx34,6 m (30° ou 60°)

Conclusion : la réponse à la question

La portée d'un tir sans frottement vaut $\frac{v _{0}^{2} s i n ( 2 α )}{g}$ v₀²sin(2α)/g : elle est maximale à 45°, et deux angles complémentaires donnent la même portée. Le conseil du professeur est exact dans le modèle, et légèrement corrigé dans la réalité par la hauteur de lâcher et l'air.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la masse n'intervient-elle pas ?

Elle se simplifie dans $m a = m g$ m vecteur a =m vecteur g : tous les corps ont la même accélération en l'absence d'air.

Quelle est la hauteur maximale à 45° avec 20 m/s ?

Au sommet $v_{y} = 0$ v_y=0 : $h = \frac{( v _{0} s i n α ) ^{2}}{2 g} = \frac{200}{20} = 10$ h=(v₀sinα)²/2g=200/20=10 m.

Combien de temps dure le vol à 45° ?

$y = 0$ y=0 pour $t = \frac{2 v _{0} s i n α}{g} = 22 \approx 2, 8$ t=2v₀sinα/g=2sqrt2≈2,8 s.

Démontrez sin(2α) = 2 sin α cos α.

C'est la formule d'addition $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ sin(a+b)=sin acos b+cos asin b avec $a = b = α$ a=b=α. On peut aussi maximiser $α \mapsto sin α cos α$ α↦sinαcosα en dérivant : $cos^{2} α - sin^{2} α = 0$ cos²α-sin²α=0 donne $α = 45°$ α=45°.

Pourquoi l'angle optimal est-il plus faible si l'on lance d'une hauteur ?

L'objet tombe plus longtemps : il vaut mieux lui donner plus de vitesse horizontale, quitte à monter moins haut.

Que devient le mouvement horizontal ?

Il est uniforme : aucune force horizontale n'agit, la composante horizontale de la vitesse est constante (principe d'inertie selon cet axe).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier les conditions initiales en primitivant.
Affirmer que 45° est optimal dans tous les cas, frottements et hauteur compris.
Confondre $sin (2 α)$ sin(2α) et $2 sin α$ 2sinα.

Revoir les notions

Autres questions : mouvement et mécanique

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