Justifiez $(1+x)⁻²≈1-2x$ pour $x$ petit.

C'est l'approximation affine de $f(x)=(1+x)⁻²$ en 0 : $f(0)=1$ et $f'(0)=-2$.

Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi les astronautes flottent-ils dans la Station spatiale alors que la pesanteur y est presque la même que sur Terre ?

Q: À quelle altitude la pesanteur vaut-elle le quart de sa valeur au sol ?

$(R/(R+h))²=1/4$ donne $R+h=2R$, soit $h=R≈6 400$ km.

À 400 km d'altitude, la pesanteur vaut encore (16/17)² ≈ 89 % de sa valeur au sol ; les astronautes flottent parce qu'ils tombent en permanence avec la Station, sur une orbite parcourue à 7,7 km/s en 93 minutes.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai longtemps cru que les astronautes flottaient parce qu'il n'y a « plus de gravité » dans l'espace. En calculant la pesanteur à l'altitude de la Station spatiale, j'ai trouvé presque 90 % de la valeur au sol. Il fallait donc une autre explication. J'ai voulu comprendre ce qu'est vraiment l'impesanteur, et calculer la vitesse et la période de la Station.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la loi de la gravitation et la deuxième loi de Newton pour expliquer l'impesanteur, avec des calculs de puissances et de racines faisables à la main.

Mathématiques

Calcul de rapports, puissances, racines carrées (seconde)
Approximation $(1 + h)^{n} \approx 1 + nh$ (1+h)ⁿ≈1+nh (première, dérivation)

Physique-chimie

Loi de la gravitation universelle, champ de gravitation (première, terminale)
Mouvement circulaire uniforme des satellites (terminale)
Référentiels, chute libre (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La Station spatiale internationale orbite à environ $400$ 400 km d'altitude. Problématique : si la Terre l'attire encore fortement, pourquoi les objets y flottent-ils ?
2. La pesanteur à 400 km
2,5 min
Le champ de gravitation vaut $g (r) = \frac{GM}{r ^{2}}$ g(r)=GM/r², donc $\frac{g ( R + h )}{g ( R )} = (\frac{R}{R + h})^{2}$ (g(R+h))/g(R)=(R/(R+h))². Avec $R = 6400$ R=6 400 km et $h = 400$ h=400 km : $(\frac{6 400}{6 800})^{2} = (\frac{16}{17})^{2} = \frac{256}{289} \approx 0, 89$ ((6 400)/(6 800))²=(16/17)²=256/289≈0,89.
On peut l'estimer de tête : $(1 + \frac{1}{16})^{- 2} \approx 1 - \frac{2}{16} \approx 0, 88$ (1+1/16)⁻²≈1-2/16≈0,88. La pesanteur n'a perdu qu'environ 11 % : ce n'est pas son absence qui fait flotter les astronautes.
3. L'explication : une chute permanente
3,5 min
Dans le référentiel terrestre, la Station et les astronautes ne sont soumis qu'à leur poids : ils ont la même accélération $g$ vecteur g, quelle que soit leur masse. Ils tombent ensemble, comme les passagers d'un ascenseur dont le câble aurait cassé : aucun ne presse sur le plancher, d'où la sensation de flotter.
Ils ne s'écrasent pas, parce qu'ils vont assez vite horizontalement : en tombant, ils « ratent » la Terre. Pour une orbite circulaire, $\frac{v ^{2}}{r} = g (r)$ v²/r=g(r), soit $v = g (r) r$ v=√(g(r) r). Avec $g \approx 8, 7$ g≈8,7 m/s² et $r = 6, 8 \times 1 0^{6}$ r=6,8×10⁶ m : $v \approx 5, 9 \times 1 0^{7} \approx 7, 7$ v≈√(5,9×10⁷)≈7,7 km/s. La période vaut $\frac{2 π r}{v} \approx 93$ (2π r)/v≈93 min : seize tours par jour.
4. Conclusion
3 min
Les astronautes flottent non pas parce que la pesanteur a disparu (elle vaut encore 89 % de sa valeur au sol), mais parce qu'ils sont en chute libre avec la Station, sur une trajectoire circulaire. On parle d'impesanteur, pas d'apesanteur. Le calcul n'a demandé que des rapports et une racine carrée.
J'ouvre sur les vols paraboliques : un avion qui suit pendant une vingtaine de secondes la parabole d'une chute libre donne la même sensation à ses passagers, sans quitter l'atmosphère.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{g ( R + h )}{g ( R )} = (\frac{R}{R + h})^{2} = (\frac{16}{17})^{2} = \frac{256}{289} \approx 0, 89 (g(R+h))/g(R)=(R/(R+h))²=(16/17)²=256/289\approx0,89 \frac{v ^{2}}{r} = g (r) \Rightarrow v = g r \approx 8, 7 \times 6, 8 \times 1 0^{6} \approx 7, 7 km/s v²/r=g(r) \Rightarrow v=\sqrt(g r)\approx\sqrt(8,7\times6,8\times10⁶)\approx7,7 km/s T = \frac{2 π r}{v} \approx 93 min T=(2π r)/v\approx93 min

Conclusion : la réponse à la question

Dans la Station, la pesanteur vaut encore près de 90 % de sa valeur au sol ; les astronautes flottent parce qu'ils tombent en permanence avec la Station, à 7,7 km/s, sans jamais atteindre le sol. Les mathématiques transforment une idée reçue en un calcul vérifiable.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez

(1 + x)^{- 2} \approx 1 - 2 x

(1+x)⁻²≈1-2x pour

x

x petit.

C'est l'approximation affine de $f (x) = (1 + x)^{- 2}$ f(x)=(1+x)⁻² en 0 : $f (0) = 1$ f(0)=1 et $f^{'} (0) = - 2$ f'(0)=-2.

Une balance fonctionnerait-elle dans la Station ?

Elle indiquerait zéro : l'astronaute et la balance tombent ensemble, aucune force de contact ne s'exerce entre eux.

Comment mesure-t-on alors la masse des astronautes ?

Avec un dispositif à ressort : la période d'oscillation dépend de la masse, pas de la pesanteur.

Pourquoi la Station perd-elle peu à peu de l'altitude ?

Il reste une atmosphère très ténue qui la freine ; on la remonte régulièrement avec des moteurs.

À quelle altitude la pesanteur vaut-elle le quart de sa valeur au sol ?

$(\frac{R}{R + h})^{2} = \frac{1}{4}$ (R/(R+h))²=1/4 donne $R + h = 2 R$ R+h=2R, soit $h = R \approx 6400$ h=R≈6 400 km.

Les pièges qui coûtent des points

Dire qu'il n'y a pas de gravité dans l'espace.
Oublier d'ajouter le rayon terrestre à l'altitude.
Confondre poids (une force) et masse.

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