Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Jusqu'où peut-on envoyer un signal dans une fibre optique avant de devoir l'amplifier ?

Q: Quelle fraction de la puissance reste après 3 dB de perte ?

$10^(-0,3)≈0,5$ : la moitié.

Q: Quel lien entre α et l'atténuation en dB/km ?

$10log e^(α)=10α/ln10≈4,34 α$ dB/km.

Q: Combien de kilomètres pour perdre 90 % de la puissance ?

Il reste 10 %, soit 10 dB : $10/0,2=50$ km.

La puissance décroît exponentiellement avec la longueur, ce qui fait perdre un nombre fixe de décibels par kilomètre : à 0,2 dB/km, 100 km font perdre 20 dB, soit 99 % de la puissance ; une suite géométrique devient une perte linéaire en décibels.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Notre connexion internet passe par la fibre optique, et j'ai lu que des câbles sous-marins traversent l'Atlantique. Je me suis demandé comment la lumière peut parcourir des milliers de kilomètres sans s'éteindre. J'ai découvert qu'on mesure l'atténuation en décibels par kilomètre et qu'on place des amplificateurs régulièrement : derrière ce choix se cache une fonction exponentielle.

L'enjeu et les notions du programme

Relier une décroissance exponentielle à une perte linéaire en décibels, et dimensionner une liaison à l'aide du logarithme.

Mathématiques

Suites géométriques, fonction exponentielle (première, terminale)
Logarithme : transformation d'un produit en somme (terminale)
Résolution d'inéquations avec le logarithme (terminale)

Physique-chimie

Atténuation d'un signal, atténuation en décibels (terminale)
Propagation guidée de la lumière, réflexion totale (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Dans une fibre, la lumière est guidée par réflexion totale, mais une petite part est absorbée ou diffusée à chaque kilomètre. Problématique : comment évolue la puissance, et quand faut-il l'amplifier ?
2. Une décroissance exponentielle
3 min
Chaque kilomètre de fibre laisse passer la même fraction $q$ q de la puissance qui y entre. Après $n$ n kilomètres, $P_{n} = P_{0} q^{n}$ Pₙ=P₀ qⁿ : une suite géométrique. En continu, $P (x) = P_{0} e^{- α x}$ P(x)=P₀e^(-α x), solution de $P^{'} = - α P$ P'=-α P : la perte sur une petite longueur est proportionnelle à la puissance présente.
L'atténuation en décibels d'un tronçon est $A = 10 lo g \frac{P _{entr \overset{e}{ˊ} e}}{P _{sortie}}$ A=10log(P_ entrée)/(P_ sortie). Sur $n$ n km : $A = 10 lo g \frac{1}{q ^{n}} = n \times 10 lo g \frac{1}{q}$ A=10log1/qⁿ=n×10log1/q. Elle est proportionnelle à la longueur : on la donne en dB/km.
3. Dimensionner une liaison
4 min
Une fibre moderne perd environ $0, 2$ 0,2 dB/km. Sur $100$ 100 km : $20$ 20 dB, soit $\frac{P}{P _{0}} = 1 0^{- 2}$ P/P₀=10⁻² : il reste 1 % de la puissance. Sur 15 km, la perte de 3 dB divise la puissance par 2 : chaque tranche de 15 km la divise par deux.
Si le récepteur fonctionne tant que la perte reste inférieure à $30$ 30 dB, la longueur maximale est $\frac{30}{0 , 2} = 150$ 30/0,2=150 km, d'où les amplificateurs placés tous les 50 à 100 km sur les câbles sous-marins. Les décibels changent un calcul de puissances en addition : un connecteur à $0, 5$ 0,5 dB, deux épissures à $0, 1$ 0,1 dB et 80 km de fibre font $0, 5 + 0, 2 + 16 = 16, 7$ 0,5+0,2+16=16,7 dB.
Sans échelle logarithmique, il faudrait multiplier des facteurs comme $0, 89 \times 0, 97 7^{2} \times 0, 025$ 0,89×0,977²×0,025, beaucoup moins lisible.
4. Conclusion
2 min
La puissance dans une fibre décroît exponentiellement, ce qui fait perdre un nombre constant de décibels par kilomètre. On peut envoyer le signal sur environ 150 km avant de devoir l'amplifier, et le bilan d'une liaison se fait par simple addition. J'ouvre sur la comparaison avec le cuivre, qui atténue bien davantage aux hautes fréquences.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P_{n} = P_{0} q^{n} A_{dB} = 10 lo g \frac{P _{0}}{P _{n}} = n \times 10 lo g \frac{1}{q} Pₙ=P₀ qⁿ A_ dB =10logP₀/Pₙ=n\times10log1/q 0, 2 dB/km \times 100 km = 20 dB \Rightarrow \frac{P}{P _{0}} = 1 0^{- 20/10} = 1 0^{- 2} 0,2 dB/km \times100 km =20 dB \Rightarrow P/P₀=10^(-20/10)=10⁻² A \leq 30 dB ⟺ L \leq \frac{30}{0 , 2} = 150 km A\leq30 dB \Leftrightarrow L\leq30/0,2=150 km

Conclusion : la réponse à la question

Dans une fibre optique, une même fraction de la puissance est perdue à chaque kilomètre : la décroissance est exponentielle et la perte, en décibels, est proportionnelle à la longueur. Avec 0,2 dB/km et 30 dB de marge, il faut amplifier au plus tous les 150 km.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle fraction de la puissance reste après 3 dB de perte ?

$1 0^{- 0, 3} \approx 0, 5$ 10^(-0,3)≈0,5 : la moitié.

Quel lien entre α et l'atténuation en dB/km ?

$10 lo g e^{α} = \frac{10 α}{l n 10} \approx 4, 34 α$ 10log e^(α)=10α/ln10≈4,34 α dB/km.

Pourquoi la lumière reste-t-elle dans la fibre ?

Le cœur a un indice plus élevé que la gaine : au-delà d'un angle limite, la lumière est totalement réfléchie à l'interface.

Combien de kilomètres pour perdre 90 % de la puissance ?

Il reste 10 %, soit 10 dB : $\frac{10}{0 , 2} = 50$ 10/0,2=50 km.

La suite (Pₙ) est-elle arithmétique ou géométrique ?

Géométrique en puissance, mais la suite des niveaux en dB est arithmétique : le logarithme transforme l'une en l'autre.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la puissance diminue d'une quantité fixe (en watts) par kilomètre.
Confondre une perte de 20 dB et une perte de 20 %.
Multiplier des décibels au lieu de les additionner.

Revoir les notions

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