Question transversaleMathsPhysique-chimieÉnergie et travail

Une balle qui rebondit s'arrête-t-elle en un temps fini, alors qu'elle fait une infinité de rebonds ?

Q: Démontrez la somme e + e² + … = e/(1 − e).

$e+…+eⁿ=e(1-eⁿ)/(1-e)$, et $eⁿ→0$ car $0<e<1$.

Q: Pourquoi la hauteur est-elle multipliée par e² ?

La hauteur est proportionnelle au carré de la vitesse : $h=v²/2g$.

Q: Comment mesurer e avec un micro ?

On enregistre les instants des chocs : le rapport de deux durées de vol successives vaut $e$.

Q: Combien de rebonds dépassent 1 cm ?

$0,64ⁿ≥0,01⇔ n≤ln0,01/ln0,64≈10,3$ : 10 rebonds.

Q: Où est passée l'énergie perdue ?

En chaleur et en son dans la balle et le sol, lors de la déformation au choc.

À chaque rebond la balle perd une fraction fixe de son énergie : les hauteurs forment une suite géométrique de raison e², et les durées de vol une suite de raison e. Les séries convergent : avec e = 0,8 et h₀ = 1 m, la balle parcourt 4,56 m et s'arrête au bout de 4,06 s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lâchant une balle de ping-pong, j'ai entendu les rebonds s'accélérer jusqu'à un crépitement, puis s'arrêter. Je me suis demandé si la balle faisait vraiment une infinité de rebonds et, si oui, comment elle pouvait s'arrêter en un temps fini. C'est une version réelle du paradoxe d'Achille et la tortue, que les séries géométriques résolvent.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser une perte d'énergie par une suite géométrique et sommer des séries géométriques pour obtenir une distance et une durée finies.

Mathématiques

Suites géométriques, somme des termes (première)
Limite d'une suite géométrique de raison dans ]−1 ; 1[ (terminale)
Racine carrée (seconde)

Physique-chimie

Énergie mécanique, non-conservation lors d'un choc (première)
Chute libre : t = √(2h/g) (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une balle lâchée de $h_{0} = 1$ h₀=1 m rebondit en repartant à chaque fois avec une vitesse égale à $e = 0, 8$ e=0,8 fois sa vitesse d'arrivée (coefficient de restitution). Problématique : fait-elle une infinité de rebonds, et combien de temps dure le mouvement ?
2. Physique : une perte d'énergie à chaque choc
3 min
Entre deux chocs, l'énergie mécanique se conserve : une vitesse $v$ v au sol correspond à une hauteur $\frac{v ^{2}}{2 g}$ v²/2g. Au choc, la vitesse est multipliée par $e$ e : la hauteur suivante est multipliée par $e^{2} = 0, 64$ e²=0,64. Chaque rebond perd 36 % de l'énergie.
La durée d'un vol (montée et descente) vaut $2 \frac{2 h}{g}$ 2√(2h/g) : elle est proportionnelle à $h$ √h, donc multipliée par $e$ e à chaque rebond.
3. Mathématiques : deux séries géométriques
4 min
Hauteurs : $h_{n} = h_{0} e^{2 n}$ hₙ=h₀e²ⁿ, qui tend vers 0 sans jamais s'annuler : une infinité de rebonds. Distance totale : $h_{0} + 2 (h_{1} + h_{2} + \dots) = h_{0} + 2 h_{0} \frac{e ^{2}}{1 - e ^{2}} = h_{0} \frac{1 + e ^{2}}{1 - e ^{2}} = \frac{1 , 64}{0 , 36} \approx 4, 56$ h₀+2(h₁+h₂+…)=h₀+2h₀e²/(1-e²)=h₀(1+e²)/(1-e²)=1,64/0,36≈4,56 m.
Durées : la chute initiale dure $t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} \approx 0, 45$ t₀=√(2h₀/g)≈0,45 s ; les vols suivants durent $2 t_{0} e^{n}$ 2t₀eⁿ. Durée totale : $t_{0} + 2 t_{0} (e + e^{2} + \dots) = t_{0} \frac{1 + e}{1 - e} = 0, 45 \times 9 \approx 4, 1$ t₀+2t₀(e+e²+…)=t₀(1+e)/(1-e)=0,45×9≈4,1 s. Une infinité de durées positives a une somme finie, parce qu'elles décroissent géométriquement.
Comme pour Achille et la tortue, l'infini des étapes n'empêche pas une fin en un temps fini. En réalité, le modèle cesse d'être valable quand les rebonds deviennent minuscules (la balle se met à rouler ou vibre), mais la durée observée correspond bien au calcul.
4. Conclusion
2 min
La balle fait, dans le modèle, une infinité de rebonds en un temps fini : les durées de vol forment une suite géométrique dont la somme converge, ici vers 4,1 s, et la distance totale vers 4,56 m. J'ouvre sur la mesure du coefficient de restitution : en chronométrant deux rebonds successifs, le rapport des durées donne directement $e$ e.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

h_{n} = h_{0} e^{2 n} distance = h_{0} + 2 h_{0} n \geq 1 \sum e^{2 n} = h_{0} \frac{1 + e ^{2}}{1 - e ^{2}} = \frac{1 , 64}{0 , 36} \approx 4, 56 m hₙ=h₀ e²ⁿ distance =h₀+2h₀Σ_n\geq1e²ⁿ=h₀ (1+e²)/(1-e²)=1,64/0,36\approx4,56 m t_{0} = \frac{2 h _{0}}{g} \approx 0, 45 s T = t_{0} + 2 t_{0} n \geq 1 \sum e^{n} = t_{0} \frac{1 + e}{1 - e} = 0, 45 \times 9 \approx 4, 1 s t₀=\sqrt(2h₀/g)\approx0,45 s T=t₀+2t₀Σ_n\geq1eⁿ=t₀ (1+e)/(1-e)=0,45\times9\approx4,1 s

Conclusion : la réponse à la question

Une infinité de rebonds peut tenir dans un temps fini : les durées des vols diminuent géométriquement et leur somme converge. Avec $e = 0, 8$ e=0,8 et une chute d'un mètre, la balle s'arrête au bout d'environ 4 secondes après avoir parcouru 4,56 m.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez la somme e + e² + … = e/(1 − e).

$e + \dots + e^{n} = e \frac{1 - e ^{n}}{1 - e}$ e+…+eⁿ=e(1-eⁿ)/(1-e), et $e^{n} \to 0$ eⁿ→0 car $0 < e < 1$ 0<e<1.

Pourquoi la hauteur est-elle multipliée par e² ?

La hauteur est proportionnelle au carré de la vitesse : $h = \frac{v ^{2}}{2 g}$ h=v²/2g.

Comment mesurer e avec un micro ?

On enregistre les instants des chocs : le rapport de deux durées de vol successives vaut $e$ e.

Combien de rebonds dépassent 1 cm ?

$0, 6 4^{n} \geq 0, 01 ⟺ n \leq \frac{l n 0 , 01}{l n 0 , 64} \approx 10, 3$ 0,64ⁿ≥0,01⇔ n≤ln0,01/ln0,64≈10,3 : 10 rebonds.

Où est passée l'énergie perdue ?

En chaleur et en son dans la balle et le sol, lors de la déformation au choc.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une infinité de termes positifs donne forcément une somme infinie.
Oublier que chaque rebond compte une montée et une descente.
Utiliser e au lieu de e² pour les hauteurs.

Revoir les notions

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