Question transversaleMathsPhysique-chimieÉnergie et travail

Comment calculer l'énergie stockée dans un arc tendu ?

La force d'un arc ou d'un ressort croît avec l'allongement (F = kx) : son travail est l'intégrale ∫₀^x ks ds = ½kx², l'aire d'un triangle. Un arc de raideur 500 N/m tendu de 50 cm stocke 62,5 J et lance une flèche de 25 g à environ 70 m/s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En tir à l'arc, plus on tend la corde, plus il faut forcer. Je me suis demandé comment calculer l'énergie emmagasinée, alors que la force change tout le long du mouvement. Le travail d'une force constante est un simple produit ; ici, il faut additionner des petits travaux : c'est une intégrale, que j'ai apprise en terminale.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer le travail d'une force variable par une intégrale et l'interpréter comme une aire.

Mathématiques

Intégrale d'une fonction continue, aire sous la courbe (terminale)
Primitive de x ↦ kx (terminale)
Méthode des rectangles (terminale)

Physique-chimie

Travail d'une force, énergie cinétique (première)
Force de rappel d'un ressort, loi de Hooke (seconde, première)
Conversion d'énergie (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un archer tend son arc de $50$ 50 cm. La force nécessaire augmente avec l'allongement. Problématique : quelle énergie l'arc emmagasine-t-il, et quelle vitesse peut-il donner à une flèche ?
2. Physique : une force qui varie
2,5 min
On modélise l'arc par un ressort : la force à exercer est proportionnelle à l'allongement, $F (x) = k x$ F(x)=kx (loi de Hooke), avec $k = 500$ k=500 N/m. Au début, il ne faut presque pas forcer ; à 50 cm, il faut $250$ 250 N.
On ne peut pas écrire « force × distance », puisque la force change. Mais sur un petit allongement $Δ x$ Δ x, la force est presque constante : le travail vaut environ $F (x) Δ x$ F(x)Δ x.
3. Mathématiques : une intégrale, une aire
4,5 min
En additionnant les petits travaux et en passant à la limite : $W = \int_{0}^{X} k s d s = [\frac{k s ^{2}}{2}]_{0}^{X} = \frac{1}{2} k X^{2}$ W=∫₀^(X)ks ds=[ks²/2]₀^(X)=1/2kX². C'est l'aire du triangle sous la droite $F = k x$ F=kx, de base $X$ X et de hauteur $k X$ kX.
Avec $k = 500$ k=500 N/m et $X = 0, 5$ X=0,5 m : $W = \frac{1}{2} \times 500 \times 0, 25 = 62, 5$ W=1/2×500×0,25=62,5 J. Si l'on avait multiplié la force finale par la distance, on aurait trouvé le double, $125$ 125 J : c'est l'aire du rectangle.
À la détente, cette énergie devient de l'énergie cinétique de la flèche (si tout est transmis) : $\frac{1}{2} m v^{2} = 62, 5$ 1/2mv²=62,5 avec $m = 0, 025$ m=0,025 kg donne $v = 5000 \approx 70$ v=√(5 000)≈70 m/s, environ 250 km/h. En réalité, une partie de l'énergie sert à mettre en mouvement les branches de l'arc : on mesure plutôt 50 à 60 m/s.
L'énergie croît comme le carré de l'allongement : tendre deux fois plus stocke quatre fois plus d'énergie.
4. Conclusion
2 min
L'énergie stockée dans un arc est l'intégrale de la force sur l'allongement, $\frac{1}{2} k X^{2}$ 1/2kX², l'aire d'un triangle : 62,5 J pour cet arc, de quoi lancer une flèche à environ 70 m/s. J'ouvre sur les arcs à poulies, dont la force diminue en fin de tension : leur courbe force-allongement a une plus grande aire pour une même force maximale.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

W = \int_{0}^{X} k s d s = [\frac{k s ^{2}}{2}]_{0}^{X} = \frac{1}{2} k X^{2} W=\int₀^(X)k s ds=[(k s²)/2]₀^(X)=1/2kX² k = 500, X = 0, 5 : W = 62, 5 J (rectangle : k X \cdot X = 125 J) k=500, X=0,5: W=62,5 J ( rectangle : kX\cdot X=125 J ) \frac{1}{2} m v^{2} = 62, 5 \Rightarrow v = \frac{2 \times 62 , 5}{0 , 025} \approx 70 m/s 1/2mv²=62,5 \Rightarrow v=\sqrt(2\times62,5/0,025)\approx70 m/s

Conclusion : la réponse à la question

Le travail d'une force qui varie se calcule par une intégrale : pour un arc ou un ressort, $\frac{1}{2} k X^{2}$ 1/2kX², l'aire d'un triangle sous la courbe force-allongement. Cette énergie, convertie en énergie cinétique, donne l'ordre de grandeur de la vitesse de la flèche.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'énergie n'est-elle pas F × X ?

La force n'atteint $k X$ kX qu'à la fin ; en moyenne elle vaut $\frac{k X}{2}$ kX/2, d'où $\frac{1}{2} k X^{2}$ 1/2kX².

Que devient l'énergie si l'on tend l'arc de 25 cm seulement ?

$\frac{1}{2} \times 500 \times 0, 0625 \approx 15, 6$ 1/2×500×0,0625≈15,6 J : quatre fois moins.

Calculez l'approximation par 5 rectangles à gauche.

Pas de 0,1 m : $500 \times 0, 1 \times (0 + 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 4) = 50$ 500×0,1×(0+0,1+0,2+0,3+0,4)=50 J, inférieure à 62,5 J ; elle converge quand le nombre de rectangles augmente.

Quelle hauteur atteindrait la flèche tirée verticalement ?

$m g h = 62, 5$ mgh=62,5 donne $h = \frac{62 , 5}{0 , 025 \times 10} = 250$ h=62,5/0,025×10=250 m, sans frottements.

Quel lien avec l'énergie d'un condensateur ?

Le même calcul : $\int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{Q ^{2}}{2 C}$ ∫₀^(Q)q/C dq=Q²/2C, aire d'un triangle sous une droite.

Les pièges qui coûtent des points

Multiplier la force maximale par l'allongement.
Oublier les unités (allongement en mètres).
Supposer que toute l'énergie passe à la flèche.

Revoir les notions

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