Question transversaleMathsPhysique-chimieÉnergie et travail

À quelle vitesse faut-il lancer un objet pour qu'il ne retombe jamais sur Terre ?

Q: Que vaut la vitesse de libération de la Lune ?

Avec $g≈1,6$ m/s² et $R≈1 740$ km : $√(2×1,6×1,74×10⁶)≈2,4$ km/s.

Q: Pourquoi l'intégrale de 1/r diverge-t-elle ?

$∫_R^(D)dr/r=ln D-ln R→+∞$.

Q: Comparez à la vitesse en orbite basse.

$√(gR)≈7,9$ km/s : la vitesse de libération est $sqrt2$ fois plus grande.

Le travail nécessaire pour éloigner une masse à l'infini est l'intégrale ∫_R^∞ GMm/r² dr = GMm/R, qui converge ; en l'égalant à l'énergie cinétique, on obtient v = √(2GM/R) ≈ 11,2 km/s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lançant une balle vers le haut, elle retombe toujours, d'autant plus tard qu'on la lance fort. Je me suis demandé s'il existait une vitesse à partir de laquelle elle ne retomberait jamais. On m'a parlé de « vitesse de libération ». Pour la calculer, il faut additionner le travail de la gravitation jusqu'à l'infini : une intégrale sur un intervalle infini qui donne pourtant un nombre fini.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer le travail d'une force en 1/r² par une intégrale, étudier sa limite quand la borne tend vers l'infini, et l'utiliser dans un bilan d'énergie.

Mathématiques

Primitive de $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r², intégrale (terminale)
Limite d'une fonction en +∞ (terminale)
Racine carrée, puissances de 10 (seconde)

Physique-chimie

Loi de la gravitation universelle (première, terminale)
Travail d'une force, énergie cinétique (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On lance un objet verticalement depuis la surface de la Terre (rayon $R$ R, masse $M$ M), sans tenir compte de l'air. Problématique : existe-t-il une vitesse au-delà de laquelle il ne retombe jamais ?
2. Physique : une attraction qui faiblit
2,5 min
La force de gravitation vaut $F (r) = \frac{GM m}{r ^{2}}$ F(r)=GMm/r² à la distance $r$ r du centre de la Terre. Elle diminue avec la distance, mais ne s'annule jamais. Le poids $m g$ mg n'en est que la valeur à la surface : $g = \frac{GM}{R ^{2}}$ g=GM/R².
Pour que l'objet ne retombe pas, son énergie cinétique initiale doit suffire à « payer » le travail de cette force jusqu'à l'infini.
3. Mathématiques : une intégrale jusqu'à l'infini
4,5 min
Le travail à fournir pour aller de $R$ R à $D$ D vaut $\int_{R}^{D} \frac{GM m}{r ^{2}} d r = [- \frac{GM m}{r}]_{R}^{D} = GM m (\frac{1}{R} - \frac{1}{D})$ ∫_R^(D)GMm/r²dr=[-GMm/r]_R^(D)=GMm(1/R-1/D).
Quand $D \to + \infty$ D→+∞, $\frac{1}{D} \to 0$ 1/D→0 : le travail tend vers $\frac{GM m}{R}$ GMm/R, un nombre fini. Même jusqu'à l'infini, l'énergie nécessaire est bornée, car la force décroît assez vite (en $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r²). Pour une force en $\frac{1}{r}$ 1/r, l'intégrale divergerait ( $ln D \to + \infty$ ln D→+∞) et aucune vitesse ne suffirait.
Condition : $\frac{1}{2} m v^{2} \geq \frac{GM m}{R}$ 1/2mv²geqGMm/R, soit $v \geq \frac{2 GM}{R} = 2 g R$ v≥√(2GM/R)=√(2gR). Avec $g = 9, 81$ g=9,81 m/s² et $R = 6, 37 \times 1 0^{6}$ R=6,37×10⁶ m : $v = 1, 25 \times 1 0^{8} \approx 1, 12 \times 1 0^{4}$ v=√(1,25×10⁸)≈1,12×10⁴ m/s, soit $11, 2$ 11,2 km/s, environ 40 000 km/h. La masse de l'objet se simplifie.
4. Conclusion
2 min
Un objet lancé à plus de 11,2 km/s ne retombe jamais sur Terre : l'énergie nécessaire pour s'éloigner à l'infini est finie, $\frac{GM m}{R}$ GMm/R, parce que l'intégrale de $\frac{1}{r ^{2}}$ 1/r² converge. J'ouvre sur les trous noirs : un astre si compact que sa vitesse de libération dépasserait celle de la lumière.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

W = \int_{R}^{D} \frac{GM m}{r ^{2}} d r = GM m (\frac{1}{R} - \frac{1}{D}) D \to + \infty \frac{GM m}{R} W=\int_R^(D)GMm/r² dr=GMm(1/R-1/D) \to GMm/R \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{R} ⟺ v = \frac{2 GM}{R} = 2 g R 1/2mv²=GMm/R\Leftrightarrow v=\sqrt(2GM/R)=\sqrt(2gR) 2 \times 9, 81 \times 6, 37 \times 1 0^{6} \approx 11, 2 km/s \sqrt(2\times9,81\times6,37\times10⁶)\approx11,2 km/s

Conclusion : la réponse à la question

La vitesse de libération vaut $2 g R \approx 11, 2$ √(2gR)≈11,2 km/s : c'est l'énergie cinétique qui compense le travail de la gravitation jusqu'à l'infini, fini grâce à la convergence de $\int^{+ \infty} \frac{d r}{r ^{2}}$ ∫^(+∞)dr/r². La masse de l'objet n'intervient pas.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi g = GM/R² ?

Le poids à la surface est la force de gravitation : mg = GMm/R².

Que vaut la vitesse de libération de la Lune ?

Avec $g \approx 1, 6$ g≈1,6 m/s² et $R \approx 1740$ R≈1 740 km : $2 \times 1, 6 \times 1, 74 \times 1 0^{6} \approx 2, 4$ √(2×1,6×1,74×10⁶)≈2,4 km/s.

Pourquoi l'intégrale de 1/r diverge-t-elle ?

$\int_{R}^{D} \frac{d r}{r} = ln D - ln R \to + \infty$ ∫_R^(D)dr/r=ln D-ln R→+∞.

Les fusées atteignent-elles 11,2 km/s pour aller sur la Lune ?

Presque : la Lune reste dans le champ terrestre, mais il faut environ 11 km/s depuis l'orbite basse, en tenant compte de la vitesse déjà acquise en orbite.

Comparez à la vitesse en orbite basse.

$g R \approx 7, 9$ √(gR)≈7,9 km/s : la vitesse de libération est $2$ sqrt2 fois plus grande.

Un objet lancé à 11,2 km/s s'éloigne-t-il à vitesse constante ?

Non : il ralentit sans cesse, et sa vitesse tend vers 0 à l'infini ; $\frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$ 1/2mv²-GMm/r reste constant et vaut 0.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser mgh avec g constant jusqu'à l'infini.
Croire qu'une énergie infinie est nécessaire pour aller à l'infini.
Oublier le signe en primitivant 1/r².

Revoir les notions

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