La vitesse en bas d'un toboggan dépend-elle de sa forme ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

À la piscine, il y a deux toboggans de même hauteur : l'un droit et raide, l'autre en spirale. Avec mes amis, nous nous demandions lequel donne la plus grande vitesse à l'arrivée. J'ai découvert que, sans frottements, c'est exactement la même. J'ai voulu comprendre pourquoi le chemin n'a pas d'importance.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la conservation de l'énergie mécanique et justifier que le travail du poids ne dépend pas du chemin, par une somme de produits scalaires.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Deux toboggans partent d'une même hauteur de $5$5 m : l'un est droit, l'autre en spirale. Problématique : à l'arrivée, la vitesse dépend-elle de la forme du toboggan ?

2. 2. Physique : la conservation de l'énergie

   3 min

   Sans frottements, la réaction du toboggan est perpendiculaire au mouvement : elle ne travaille pas. Seul le poids travaille. L'énergie mécanique $E_m=\frac{1}{2}m{v}^2+mgz$E_m=1/2mv²+mgz se conserve.

   Départ sans vitesse à la hauteur $h$h, arrivée à $z=0$z=0 : $mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$mgh=1/2mv², donc $v=\sqrt{2gh}$v=√(2gh). Avec $h=5$h=5 m et $g=10$g=10 m/s² : $v=\sqrt{100}=10$v=√(100)=10 m/s, soit 36 km/h, pour les deux toboggans. La masse se simplifie aussi : un adulte et un enfant arrivent à la même vitesse.

3. 3. Mathématiques : pourquoi le chemin n'importe pas

   4 min

   Découpons le trajet en petits déplacements $\overrightarrow{\Delta {\ell }_k}(\Delta x_k;\Delta y_k;\Delta z_k)$vecteur Δℓₖ (Δ xₖ;Δ yₖ;Δ zₖ). Le poids $m\vec{g}(0;0;-mg)$m vecteur g (0;0;-mg) fournit sur chacun le travail $m\vec{g}\cdot \overrightarrow{\Delta {\ell }_k}=-mg\Delta z_k$m vecteur g · vecteur Δℓₖ =-mg Δ zₖ : les déplacements horizontaux ne comptent pas.

   En additionnant, $W=-mg\sum \Delta z_k=-mg(z_{\text{arriveˊe}}-z_{\text{deˊpart}})=mgh$W=-mgΣΔ zₖ=-mg(z_ arrivée -z_ départ )=mgh. La somme est télescopique : seules les altitudes de départ et d'arrivée subsistent. En passant à la limite, c'est l'intégrale $\int -mgdz$∫-mg dz, qui ne dépend que des bornes.

   Ce qui change avec la forme, c'est la durée : le toboggan raide accélère plus tôt et arrive plus vite ; la spirale est plus longue. Avec des frottements, la spirale, plus longue, dissipe plus d'énergie : l'enfant y arrive moins vite.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Sans frottements, la vitesse en bas d'un toboggan vaut $\sqrt{2gh}$√(2gh), quelle que soit sa forme, parce que le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude : une somme télescopique de produits scalaires. J'ouvre sur les montagnes russes, dont la première descente doit être la plus haute : aucune bosse ultérieure ne peut la dépasser.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Dire que le toboggan le plus raide donne la plus grande vitesse finale.
• Faire intervenir la masse dans la vitesse finale.
• Oublier que les frottements dépendent du chemin.

Revoir les notions

• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →
• Calcul intégral (Terminale spé maths) →

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