Comment les musiciens accordent-ils leur instrument à l'oreille grâce aux battements ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En accordant ma guitare avec un diapason, j'entends une sorte de « wah-wah » régulier qui ralentit quand je me rapproche de la bonne note, puis disparaît. Mon professeur de musique m'a dit que ce sont des battements. J'ai voulu comprendre leur origine mathématique : une simple formule de trigonométrie transforme une somme de deux sons en un produit.

L'enjeu et les notions du programme

Transformer une somme de deux fonctions sinusoïdales en produit, et interpréter le résultat comme une modulation d'amplitude.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le diapason émet un la à $440$440 Hz ; la corde, légèrement désaccordée, vibre à $442$442 Hz. Problématique : pourquoi entend-on un son qui « pulse », et comment s'en servir pour accorder ?

2. 2. Mathématiques : de la somme au produit

   4 min

   La formule d'addition $\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b$cos(a± b)=cos acos bmpsin asin b, que l'on démontre avec le produit scalaire de deux vecteurs unitaires du cercle trigonométrique, donne par somme : $\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$cos(a+b)+cos(a-b)=2cos acos b.

   En posant $p=a+b$p=a+b et $q=a-b$q=a-b, soit $a=\frac{p+q}{2}$a=(p+q)/2 et $b=\frac{p-q}{2}$b=(p-q)/2 : $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$cos p+cos q=2cos(p+q)/2cos(p-q)/2.

   Avec $p=2\pi f_{1}t$p=2π f₁t et $q=2\pi f_{2}t$q=2π f₂t : $\cos (2\pi f_{1}t)+\cos (2\pi f_{2}t)=2\cos (\pi (f_1-f_2)t)\cos (\pi (f_1+f_2)t)$cos(2π f₁t)+cos(2π f₂t)=2cos(π(f₁-f₂)t)cos(π(f₁+f₂)t). Le second facteur oscille vite, à la fréquence moyenne $441$441 Hz : c'est la note entendue. Le premier varie lentement : il module l'amplitude.

3. 3. Physique : la fréquence des battements

   3 min

   L'enveloppe $\left|2\cos (\pi (f_1-f_2)t)\right|$|2cos(π(f₁-f₂)t)| s'annule chaque fois que $\pi (f_1-f_2)t$π(f₁-f₂)t atteint $\frac{\pi }{2}+k\pi$fracπ2+kπ, donc tous les $\frac{1}{|f_1-f_2|}$1/(|f₁-f₂|) secondes. On entend un maximum de volume à la fréquence $|f_1-f_2|$|f₁-f₂| : ici $2$2 battements par seconde.

   Pour accorder, le musicien tourne la cheville jusqu'à ce que les battements ralentissent puis disparaissent : $f_2=f_1$f₂=f₁. À 0,5 Hz d'écart, il entend un battement toutes les deux secondes : l'oreille détecte donc un désaccord bien plus fin qu'elle ne pourrait le faire en comparant deux notes séparées.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Les battements viennent de la superposition de deux sons proches : la somme de deux cosinus est le produit d'une note moyenne par une enveloppe lente de fréquence $|f_1-f_2|$|f₁-f₂|. C'est ce qui permet d'accorder à l'oreille. J'ouvre sur la modulation d'amplitude des radios AM, qui utilise la même formule.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Croire que la note entendue est à |f₁ − f₂|.
• Oublier les facteurs 1/2 dans la formule de transformation.
• Confondre amplitude et fréquence dans l'interprétation.

Revoir les notions

• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

Autres questions : ondes et signaux

• Pourquoi mesure-t-on le bruit en décibels, avec un logarithme ?
• Pourquoi le niveau sonore baisse-t-il de 6 décibels chaque fois qu'on double la distance ?
• Pourquoi le son d'une sirène change-t-il quand l'ambulance passe devant nous ?
• Comment deux faisceaux de lumière peuvent-ils produire de l'obscurité ?

Toutes les questions maths-physique-chimie →