Pourquoi un condensateur ne se charge-t-il jamais complètement, et en combien de temps est-il « chargé » ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons chargé un condensateur et observé la tension sur un oscilloscope : elle monte vite, puis de plus en plus lentement. Le professeur nous a dit qu'on le considère chargé « au bout de cinq τ ». Je voulais savoir d'où venait ce chiffre et pourquoi la charge n'est jamais complète. La réponse est dans une équation différentielle que nous résolvons en mathématiques.

L'enjeu et les notions du programme

Établir et résoudre l'équation différentielle d'un circuit RC, et donner un sens au temps caractéristique.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   On branche un condensateur de capacité $C$C, initialement déchargé, en série avec une résistance $R$R sur un générateur de tension $E$E. Problématique : comment évolue la tension $u$u aux bornes du condensateur, et quand peut-on le dire chargé ?

2. 2. Physique : l'équation du circuit

   3 min

   Loi des mailles : $E=Ri+u$E=Ri+u. La charge de l'armature vaut $q=Cu$q=Cu et l'intensité est le débit de charge : $i=q^{\prime }=C{u}^{\prime }$i=q'=Cu'. D'où $RC{u}^{\prime }+u=E$RCu'+u=E, soit $u^{\prime }=-\frac{1}{RC}u+\frac{E}{RC}$u'=-1/RCu+E/RC.

   Lecture qualitative : au début, $u=0$u=0 et $u^{\prime }=\frac{E}{RC}$u'=E/RC est maximal ; plus $u$u approche $E$E, plus le courant $\frac{E-u}{R}$(E-u)/R est faible et plus la charge ralentit.

3. 3. Mathématiques : résolution et temps caractéristique

   4 min

   C'est une équation $y^{\prime }=ay+b$y'=ay+b avec $a=-\frac{1}{RC}$a=-1/RC, $b=\frac{E}{RC}$b=E/RC. Solutions : $u(t)=K{e}^{-t/RC}+E$u(t)=Ke^(-t/RC)+E. Avec $u(0)=0$u(0)=0 : $K=-E$K=-E, donc $u(t)=E\left(1-e^{-t/\tau }\right)$u(t)=E(1-e^(-t/τ)) avec $\tau =RC$τ=RC.

   Comme $e^{-t/\tau }>0$e^(-t/τ)>0, $u(t)<E$u(t)<E pour tout $t$t : la charge n'est jamais complète, $E$E est une asymptote. Mais $u(\tau )=E(1-e^{-1})\approx 0,63E$u(τ)=E(1-e⁻¹)≈0,63E, $u(3\tau )\approx 0,95E$u(3τ)≈0,95E, $u(5\tau )\approx 0,993E$u(5τ)≈0,993E. Au-delà de $5\tau$5τ, l'écart est inférieur à 1 % : on le considère chargé.

   Le temps pour atteindre une fraction $p$p de $E$E s'obtient avec le logarithme : $e^{-t/\tau }=1-p$e^(-t/τ)=1-p, soit $t=-\tau \ln (1-p)$t=-τln(1-p). Pour $p=\frac{1}{2}$p=1/2 : $t=\tau \ln 2\approx 0,69\tau$t=τln2≈0,69τ. Exemple : $R=10$R=10 kΩ, $C=100$C=100 µF donnent $\tau =1$τ=1 s.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Le condensateur ne se charge jamais complètement, car l'écart à $E$E décroît exponentiellement sans s'annuler ; en pratique, 5 τ suffisent pour dépasser 99 %. J'ouvre sur les flashs d'appareil photo et les minuteries, qui exploitent ce temps caractéristique.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Écrire que le condensateur est chargé à t = τ.
• Oublier la solution particulière constante E.
• Confondre la charge q et la tension u.

Revoir les notions

• Primitives et équations différentielles (Terminale spé maths) →
• Fonction exponentielle (Terminale spé maths) →

Autres questions : électricité

• Comment un flash d'appareil photo libère-t-il en une milliseconde l'énergie accumulée en plusieurs secondes ?
• Pourquoi l'intensité électrique est-elle la dérivée de la charge ?
• Pourquoi transporte-t-on l'électricité sous très haute tension ?
• Quelle résistance brancher sur une pile pour en tirer le plus de puissance ?

Toutes les questions maths-physique-chimie →