Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Pourquoi l'intensité électrique est-elle la dérivée de la charge ?

Q: Calculez une primitive de t ↦ I₀e⁽−t/τ).

$-I₀τ e^(-t/τ)$ ; entre 0 et $T$, on obtient $I₀τ(1-e^(-T/τ))$, qui tend vers $I₀τ$.

L'intensité est un débit de charges : i = dq/dt, comme une vitesse est la dérivée d'une position ; inversement, la charge est l'intégrale de l'intensité, et une batterie de 4 000 mAh contient 14 400 C, soit 9 × 10²² électrons.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur ma batterie de téléphone, il est écrit « 4 000 mAh ». J'ai découvert que ce n'est pas une énergie mais une quantité de charge électrique, un produit d'une intensité par une durée. En terminale, j'ai appris que l'intensité est la dérivée de la charge. J'ai voulu montrer que la dérivée et l'intégrale permettent de passer de l'une à l'autre, comme pour la vitesse et la distance.

L'enjeu et les notions du programme

Interpréter la dérivée comme un taux de variation instantané et l'intégrale comme un cumul, sur l'exemple de la charge électrique.

Mathématiques

Nombre dérivé comme limite du taux de variation (première)
Intégrale, primitive, aire sous la courbe (terminale)
Puissances de 10 (seconde)

Physique-chimie

Intensité d'un courant comme débit de charges, i = dq/dt (terminale)
Charge élémentaire, quantité d'électricité (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un courant est un déplacement de charges. Problématique : comment relier la quantité de charge à l'intensité, et que signifie la capacité d'une batterie ?
2. L'intensité, un débit
3 min
Si une charge $Δ q$ Δ q traverse une section du fil pendant $Δ t$ Δ t, l'intensité moyenne est $\frac{Δ q}{Δ t}$ (Δ q)/(Δ t), en coulombs par seconde, c'est-à-dire en ampères. En faisant tendre $Δ t$ Δ t vers 0, on obtient l'intensité instantanée : $i (t) = q^{'} (t)$ i(t)=q'(t).
C'est exactement la définition du nombre dérivé : la limite d'un taux de variation. La charge joue le rôle de la position, l'intensité celui de la vitesse, et l'on retrouve le même formalisme qu'en mécanique ou pour un débit d'eau.
3. La charge, une intégrale
4 min
Inversement, la charge qui a circulé entre $0$ 0 et $T$ T est $Q = \int_{0}^{T} i (t) d t$ Q=∫₀^(T)i(t) dt : l'aire sous la courbe de l'intensité. Pour un courant constant, $Q = I T$ Q=IT.
Une batterie de $4000$ 4 000 mAh peut débiter $4$ 4 A pendant une heure, ou $0, 4$ 0,4 A pendant 10 h : $Q = 4 \times 3600 = 14400$ Q=4×3 600=14 400 C. Avec $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19}$ e=1,6×10⁻¹⁹ C, cela fait $\frac{14 400}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} = 9 \times 1 0^{22}$ (14 400)/1,6×10⁻¹⁹=9×10²² électrons.
Pour une charge de condensateur où $i (t) = I_{0} e^{- t / τ}$ i(t)=I₀e^(-t/τ), $Q = \int_{0}^{+ \infty} I_{0} e^{- t / τ} d t = I_{0} τ$ Q=∫₀^(+∞)I₀e^(-t/τ) dt=I₀τ, une aire finie sous une courbe infinie. L'énergie stockée, elle, se mesure en wattheures : 4 000 mAh sous 3,7 V font environ 15 Wh.
4. Conclusion
2 min
L'intensité est la dérivée de la charge parce qu'elle mesure un débit instantané ; la charge est l'intégrale de l'intensité. Les mêmes outils mathématiques décrivent la vitesse, le débit d'eau et le courant électrique. J'ouvre sur le compteur électrique, qui intègre en continu la puissance pour facturer l'énergie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

i (t) = Δ t \to 0 lim \frac{Δ q}{Δ t} = q^{'} (t) Q = \int_{0}^{T} i (t) d t i(t)=lim_Δ t\to0(Δ q)/(Δ t)=q'(t) Q=\int₀^(T)i(t) dt 4000 mAh = 4 A \times 3600 s = 14400 C = \frac{14 400}{1 , 6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx 9 \times 1 0^{22} e^{-} 4 000 mAh =4 A \times3 600 s =14 400 C =(14 400)/1,6\times10⁻¹⁹\approx9\times10²² e⁻ \int_{0}^{+ \infty} I_{0} e^{- t / τ} d t = I_{0} τ \int₀^(+\infty)I₀e^(-t/τ) dt=I₀ τ

Conclusion : la réponse à la question

L'intensité est la dérivée de la charge, comme la vitesse est celle de la position : c'est un débit instantané. La charge est l'aire sous la courbe de l'intensité, ce qui donne un sens concret aux milliampères-heures d'une batterie.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez une primitive de t ↦ I₀e^(−t/τ).

$- I_{0} τ e^{- t / τ}$ -I₀τ e^(-t/τ) ; entre 0 et $T$ T, on obtient $I_{0} τ (1 - e^{- T / τ})$ I₀τ(1-e^(-T/τ)), qui tend vers $I_{0} τ$ I₀τ.

Les mAh sont-ils une énergie ?

Non, une charge. Pour l'énergie, il faut multiplier par la tension : Wh = Ah × V.

Les électrons vont-ils vite dans un fil ?

Non, quelques dixièmes de millimètre par seconde ; mais ils sont si nombreux que le débit de charge est important.

Que représente une intensité négative ?

Un courant dans le sens opposé au sens choisi : la charge de l'armature diminue (décharge).

Combien de temps une batterie de 4 000 mAh tient-elle à 250 mA ?

$\frac{4 000}{250} = 16$ (4 000)/250=16 h.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre mAh (charge) et Wh (énergie).
Oublier de convertir les heures en secondes.
Dire que l'intensité est la charge divisée par le temps sans préciser « moyenne ».

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