Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Quelle résistance brancher sur une pile pour en tirer le plus de puissance ?

Une pile de force électromotrice E et de résistance interne r fournit P(R) = E²R/(R + r)² ; l'étude de la dérivée montre un maximum E²/(4r) pour R = r, mais avec un rendement de seulement 50 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons branché différentes résistances sur une pile et mesuré la puissance reçue : elle augmentait puis diminuait. J'ai été surpris qu'il existe une valeur idéale. En mathématiques, je savais trouver un maximum avec une dérivée : j'ai voulu montrer que la meilleure résistance est exactement égale à la résistance interne de la pile.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser un générateur réel et optimiser une fonction rationnelle par l'étude du signe de sa dérivée.

Mathématiques

Dérivée d'un quotient $(\frac{u}{v})^{'}$ (u/v)' (première)
Étude du signe de la dérivée, extremum (première)
Limites en 0 et en +∞ (terminale)

Physique-chimie

Modèle d'un générateur réel : U = E − rI (première)
Puissance électrique, effet Joule, rendement (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une pile se modélise par une source idéale $E$ E en série avec une résistance interne $r$ r. On y branche une résistance $R$ R. Problématique : quelle valeur de $R$ R reçoit la puissance maximale ?
2. Physique : la puissance reçue
2,5 min
L'intensité vaut $I = \frac{E}{R + r}$ I=E/(R+r) (loi des mailles). La puissance reçue par $R$ R est $P (R) = R I^{2} = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ P(R)=RI²=E²R/((R+r)²).
Deux cas extrêmes : si $R \to 0$ R→0 (court-circuit), le courant est grand mais la puissance reçue tend vers 0 ; si $R \to + \infty$ R→+∞ (circuit ouvert), le courant tend vers 0 et $P$ P aussi. Il y a donc un maximum entre les deux.
3. Mathématiques : le maximum
4,5 min
On dérive le quotient $\frac{R}{( R + r ) ^{2}}$ R/((R+r)²) : $P^{'} (R) = E^{2} \frac{( R + r ) ^{2} - 2 R ( R + r )}{( R + r ) ^{4}} = E^{2} \frac{r - R}{( R + r ) ^{3}}$ P'(R)=E² ((R+r)²-2R(R+r))/((R+r)⁴)=E² (r-R)/((R+r)³).
Le dénominateur est positif : $P^{'}$ P' a le signe de $r - R$ r-R. $P$ P croît sur $[0; r]$ [0;r] et décroît sur $[r; + \infty [$ [r;+∞[ : le maximum est atteint pour $R = r$ R=r, et vaut $P_{max} = \frac{E ^{2} r}{4 r ^{2}} = \frac{E ^{2}}{4 r}$ P_ max =E²r/4r²=E²/4r.
Exemple : $E = 12$ E=12 V, $r = 2$ r=2 Ω : $P (1) = 16$ P(1)=16 W, $P (2) = 18$ P(2)=18 W, $P (4) = 16$ P(4)=16 W. Mais à $R = r$ R=r, la pile dissipe autant de puissance en elle-même que dans la charge : le rendement $\frac{R}{R + r}$ R/(R+r) vaut 50 %. Maximiser la puissance et maximiser le rendement sont deux objectifs différents.
4. Conclusion
2 min
La puissance tirée d'une pile est maximale quand la résistance branchée égale la résistance interne : c'est l'adaptation d'impédance, utilisée en électronique et pour les antennes. Pour économiser l'énergie, on préfère au contraire $R$ R grand devant $r$ r. J'ouvre sur les panneaux solaires, dont l'électronique cherche en permanence le point de puissance maximale.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

I = \frac{E}{R + r} P (R) = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}} I=E/(R+r) P(R)=E²R/((R+r)²) P^{'} (R) = E^{2} \frac{r - R}{( R + r ) ^{3}} \Rightarrow P_{max} = P (r) = \frac{E ^{2}}{4 r} P'(R)=E² (r-R)/((R+r)³) \Rightarrow P_ max =P(r)=E²/4r E = 12, r = 2 : P (1) = 16, P (2) = 18, P (4) = 16 W E=12, r=2: P(1)=16, P(2)=18, P(4)=16 W

Conclusion : la réponse à la question

Une pile fournit le maximum de puissance à une résistance égale à sa résistance interne, $\frac{E ^{2}}{4 r}$ E²/4r, comme le montre le signe de la dérivée. Mais ce maximum s'obtient avec un rendement de 50 % : la meilleure puissance n'est pas la meilleure efficacité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Montrez que P(R) = P(r²/R).

$P (\frac{r ^{2}}{R}) = \frac{E ^{2} r ^{2} / R}{( r ^{2} / R + r ) ^{2}} = \frac{E ^{2} r ^{2} / R}{r ^{2} ( r + R ) ^{2} / R ^{2}} = \frac{E ^{2} R}{( R + r ) ^{2}}$ P (r²/R)=(E²r²/R)/((r²/R+r)²)=(E²r²/R)/(r²(r+R)²/R²)=E²R/((R+r)²) : d'où $P (1) = P (4)$ P(1)=P(4) pour $r = 2$ r=2.

Que vaut le rendement en fonction de R ?

$η = \frac{R I ^{2}}{E I} = \frac{R}{R + r}$ η=RI²/EI=R/(R+r), croissant vers 1.

Pourquoi une pile chauffe-t-elle en court-circuit ?

Toute la puissance $\frac{E ^{2}}{r}$ E²/r est dissipée dans la résistance interne.

Comment mesure-t-on r ?

En traçant $U$ U en fonction de $I$ I : une droite $U = E - r I$ U=E-rI dont le coefficient directeur vaut $- r$ -r.

Pourquoi ne pas toujours viser la puissance maximale ?

Parce qu'à R = r la moitié de l'énergie chimique de la pile est perdue en chaleur dans la pile elle-même : elle s'use deux fois plus vite pour le même travail utile. Un téléphone préfère un bon rendement ; un émetteur radio, qui doit transférer un signal faible, préfère l'adaptation.

Quelle puissance pour R = 6 Ω avec E = 12 V et r = 2 Ω ?

$P = \frac{144 \times 6}{64} = 13, 5$ P=144×6/64=13,5 W, et le rendement vaut $\frac{6}{8} = 75$ 6/8=75 %.

Les limites de P en 0 et en +∞ ?

$P (0) = 0$ P(0)=0 ; en $+ \infty$ +∞, $P (R) \sim \frac{E ^{2}}{R} \to 0$ P(R)simE²/R→0.

Les pièges qui coûtent des points

Dériver $\frac{R}{( R + r ) ^{2}}$ R/((R+r)²) comme un produit sans la dérivée de $(R + r)^{2}$ (R+r)².
Confondre puissance maximale et rendement maximal.
Oublier la résistance interne dans le calcul de I.

Revoir les notions

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