Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Comment un flash d'appareil photo libère-t-il en une milliseconde l'énergie accumulée en plusieurs secondes ?

Q: Pourquoi l'énergie décroît-elle avec 2t/τ ?

$1/2Cu²=1/2CU²(e^(-t/τ))²=mathcal Ee^(-2t/τ)$.

Q: Montrez que le temps de demi-décharge ne dépend pas de l'instant de départ.

$(u(t+T))/u(t)=e^(-T/τ)$ : il vaut $1/2$ pour $T=τln2$, quel que soit $t$.

Le condensateur se charge lentement à travers une grande résistance puis se décharge dans la lampe de très faible résistance : u = U e^(−t/τ) avec un τ minuscule. 9 J libérés en 1 ms, c'est une puissance de 9 kW.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai remarqué qu'après un flash, mon ancien appareil photo mettait plusieurs secondes à être prêt pour la photo suivante, alors que l'éclair lui-même est instantané. J'ai appris qu'un condensateur se charge lentement, puis se vide d'un coup dans la lampe. J'ai voulu comprendre, avec les exponentielles, comment changer la résistance du circuit change la durée du phénomène.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre l'équation de décharge d'un condensateur et relier temps caractéristique, énergie et puissance.

Mathématiques

Équation différentielle y' = ay (terminale)
Fonction exponentielle, propriétés algébriques (première, terminale)
Logarithme népérien (terminale)

Physique-chimie

Décharge d'un condensateur dans une résistance, τ = RC (terminale)
Énergie stockée ½CU², puissance (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un flash stocke de l'énergie dans un condensateur puis la libère dans une lampe. Problématique : comment un même composant peut-il se charger lentement et se décharger presque instantanément ?
2. Décharge : l'équation et sa solution
3,5 min
Le condensateur chargé sous $U$ U est relié à une résistance $R$ R (la lampe). Loi des mailles : $R i + u = 0$ Ri+u=0 avec $i = C u^{'}$ i=Cu', donc $u^{'} = - \frac{1}{R C} u$ u'=-1/RCu. Les solutions de $y^{'} = a y$ y'=ay sont $K e^{a t}$ Ke^(at) ; avec $u (0) = U$ u(0)=U : $u (t) = U e^{- t / τ}$ u(t)=Ue^(-t/τ), $τ = R C$ τ=RC.
Tout est dans $τ$ τ. En charge, à travers $R_{1} = 10$ R₁=10 kΩ avec $C = 200$ C=200 µF : $τ_{1} = 2$ τ₁=2 s, donc environ $10$ 10 s pour être prêt (5τ). En décharge, la lampe au xénon a une résistance d'environ $1$ 1 Ω : $τ_{2} = 0, 2$ τ₂=0,2 ms, et l'éclair dure environ 1 ms. Même composant, deux résistances, deux échelles de temps.
3. Énergie et puissance
3,5 min
L'énergie stockée vaut $E = \frac{1}{2} C U^{2}$ mathcal E=1/2CU². Avec $C = 200$ C=200 µF et $U = 300$ U=300 V : $E = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 0^{- 4} \times 9 \times 1 0^{4} = 9$ mathcal E=1/2×2×10⁻⁴×9×10⁴=9 J. Libérée en 1 ms, elle correspond à une puissance moyenne de $9000$ 9 000 W, celle de plusieurs radiateurs, alors que les piles ne fournissent que quelques watts. Le condensateur sert de réservoir.
Pendant la décharge, l'énergie restante vaut $\frac{1}{2} C u^{2} = E e^{- 2 t / τ}$ 1/2Cu²=mathcal E e^(-2t/τ) : elle décroît deux fois plus vite que la tension. À $t = τ$ t=τ, il reste $e^{- 2} \approx 13, 5$ e⁻²≈13,5 % de l'énergie. Le temps pour que la tension soit divisée par 2 est $τ ln 2$ τln2, quel que soit l'instant de départ : c'est la propriété « sans mémoire » de l'exponentielle.
4. Conclusion
2 min
Le flash libère en une milliseconde l'énergie accumulée en quelques secondes parce que la décharge se fait dans une résistance bien plus faible que celle de la charge : $τ = R C$ τ=RC passe de quelques secondes à une fraction de milliseconde. J'ouvre sur les défibrillateurs, qui utilisent le même principe avec quelques centaines de joules.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u^{'} = - \frac{1}{R C} u \Rightarrow u (t) = U e^{- t / R C} u'=-1/RC u \Rightarrow u(t)=U e^(-t/RC) τ_{charge} = 1 0^{4} \times 2 \times 1 0^{- 4} = 2 s τ_{d \overset{e}{ˊ} charge} = 1 \times 2 \times 1 0^{- 4} = 0, 2 ms τ_ charge =10⁴\times2\times10⁻⁴=2 s τ_ décharge =1\times2\times10⁻⁴=0,2 ms E = \frac{1}{2} C U^{2} = 9 J P \approx \frac{9}{1 0 ^{- 3}} = 9 kW \frac{1}{2} C u^{2} = E e^{- 2 t / τ} mathcal E=1/2CU²=9 J P\approx9/10⁻³=9 kW 1/2Cu²=mathcal E e^(-2t/τ)

Conclusion : la réponse à la question

Un flash est un condensateur chargé lentement puis vidé brutalement : la décharge $U e^{- t / R C}$ Ue^(-t/RC) est d'autant plus rapide que la résistance est faible. La même énergie de 9 J, libérée en une milliseconde, donne une puissance de plusieurs kilowatts.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'énergie décroît-elle avec 2t/τ ?

$\frac{1}{2} C u^{2} = \frac{1}{2} C U^{2} (e^{- t / τ})^{2} = E e^{- 2 t / τ}$ 1/2Cu²=1/2CU²(e^(-t/τ))²=mathcal Ee^(-2t/τ).

Montrez que le temps de demi-décharge ne dépend pas de l'instant de départ.

$\frac{u ( t + T )}{u ( t )} = e^{- T / τ}$ (u(t+T))/u(t)=e^(-T/τ) : il vaut $\frac{1}{2}$ 1/2 pour $T = τ ln 2$ T=τln2, quel que soit $t$ t.

Que devient l'énergie de la lampe ?

Elle est convertie en lumière et en chaleur dans le gaz de la lampe.

Pourquoi ne pas brancher la lampe directement sur les piles ?

Les piles ne peuvent pas fournir une puissance de plusieurs kilowatts : leur résistance interne limite le courant. Le condensateur accumule l'énergie lentement puis la restitue vite.

Résolvez y' = −5y avec y(0) = 2.

$y (t) = 2 e^{- 5 t}$ y(t)=2e^(-5t).

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser la formule de la charge pour la décharge.
Croire que l'énergie et la tension décroissent au même rythme.
Oublier les puissances de 10 de µF.

Revoir les notions

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