Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Une plume et un marteau tombent-ils à la même vitesse ?

Q: Démontrez 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² autrement que par récurrence.

C'est une somme de termes en progression arithmétique : $n×(1+(2n-1))/2=n²$.

Q: Pourquoi un plan incliné ralentit-il la chute ?

Seule la composante du poids parallèle au plan, $mgsinα$, accélère la bille (en négligeant la rotation) : l'accélération vaut $gsinα$, le mouvement garde la même forme.

Q: La vitesse à l'arrivée dépend-elle de la masse ?

Non : $v=√(2gh)$, d'après les équations horaires ou la conservation de l'énergie mécanique.

Sans air, la deuxième loi de Newton donne la même accélération g à tous les corps ; la distance parcourue ½gt² croît comme le carré du temps, et les distances successives suivent les nombres impairs 1, 3, 5, 7, comme l'avait mesuré Galilée.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai vu la vidéo de l'astronaute David Scott qui, sur la Lune en 1971, lâche en même temps un marteau et une plume : ils touchent le sol ensemble. Sur Terre, la plume flotte. Galilée avait prédit ce résultat trois siècles plus tôt, contre l'avis d'Aristote. J'ai voulu démontrer les lois de la chute libre et retrouver la belle régularité des nombres impairs qu'il avait observée.

L'enjeu et les notions du programme

Obtenir les équations horaires de la chute libre par primitivation et relier la loi en t² à la somme des nombres impairs.

Mathématiques

Primitives, équations différentielles y' = f (terminale)
Fonction carré, somme des premiers entiers impairs (première, récurrence en terminale)
Racine carrée (seconde)

Physique-chimie

Chute libre, mouvement dans un champ de pesanteur uniforme (terminale)
Deuxième loi de Newton, masse et poids (terminale)
Frottements de l'air, limites d'un modèle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction : Aristote contre Galilée
1,5 min
Aristote affirmait que les corps lourds tombent plus vite. Galilée a soutenu qu'en l'absence d'air, tous tombent de la même façon. Problématique : comment la physique et les mathématiques le démontrent-elles ?
2. Physique : la même accélération pour tous
3 min
Un corps de masse $m$ m en chute libre n'est soumis qu'à son poids $m g$ m vecteur g. La deuxième loi de Newton donne $m a = m g$ m vecteur a =m vecteur g : $a = g$ vecteur a = vecteur g. La masse qui mesure l'inertie et celle qui mesure l'attraction sont les mêmes : elles se simplifient.
Axe vertical vers le bas, lâcher sans vitesse : $v^{'} = g$ v'=g, donc $v (t) = g t$ v(t)=gt, puis $z (t) = \frac{1}{2} g t^{2}$ z(t)=1/2gt². Avec $g = 10$ g=10 m/s², un objet lâché de $20$ 20 m touche le sol au bout de $t = \frac{2 \times 20}{10} = 2$ t=√(2×20/10)=2 s, à $20$ 20 m/s. Sur la Lune ( $g \approx 1, 6$ g≈1,6 m/s²), la même chute dure $5$ 5 s.
3. Mathématiques : la loi des nombres impairs
3,5 min
Distances parcourues après 1, 2, 3, 4 s : $5$ 5, $20$ 20, $45$ 45, $80$ 80 m. Pendant chaque seconde : $5$ 5, $15$ 15, $25$ 25, $35$ 35 m, c'est-à-dire $5 \times 1$ 5×1, $5 \times 3$ 5×3, $5 \times 5$ 5×5, $5 \times 7$ 5×7.
Explication : pendant la $n$ n-ième seconde, l'objet parcourt $z (n) - z (n - 1) = \frac{g}{2} (n^{2} - (n - 1)^{2}) = \frac{g}{2} (2 n - 1)$ z(n)-z(n-1)=g/2(n²-(n-1)²)=g/2(2n-1), un multiple du $n$ n-ième nombre impair. Réciproquement, $1 + 3 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ 1+3+…+(2n-1)=n² redonne la loi en $t^{2}$ t². Galilée a découvert cette régularité en faisant rouler des billes sur un plan incliné, qui ralentit la chute sans en changer la forme.
4. Conclusion
2 min
Sans air, la plume et le marteau tombent à la même vitesse, car leur accélération ne dépend pas de leur masse ; c'est ce qu'a montré l'expérience sur la Lune. Sur Terre, les frottements de l'air ralentissent bien plus la plume. J'ouvre sur l'équivalence entre masse inerte et masse grave, point de départ de la relativité générale d'Einstein.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m a = m g \Rightarrow v (t) = g t, z (t) = \frac{1}{2} g t^{2} m vecteur a =m vecteur g \Rightarrow v(t)=gt, z(t)=1/2gt² z (n) - z (n - 1) = \frac{g}{2} (2 n - 1) : 5, 15, 25, 35 m z(n)-z(n-1)=g/2 (2n-1): 5, 15, 25, 35 m 1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2} 1+3+5+\dots+(2n-1)=n²

Conclusion : la réponse à la question

Une plume et un marteau tombent ensemble dans le vide, car l'accélération de chute libre est la même pour tous les corps. La distance parcourue croît comme le carré du temps, ce qui se lit dans la suite des nombres impairs observée par Galilée.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

De quelle hauteur tombe un objet qui met 3 s à toucher le sol ?

$z = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45$ z=1/2×10×9=45 m.

Démontrez 1 + 3 + … + (2n − 1) = n² autrement que par récurrence.

C'est une somme de termes en progression arithmétique : $n \times \frac{1 + ( 2 n - 1 )}{2} = n^{2}$ n×(1+(2n-1))/2=n².

Pourquoi la plume tombe-t-elle plus lentement sur Terre ?

La force de frottement de l'air est importante devant son poids, très faible ; pour le marteau, elle est négligeable.

Pourquoi un plan incliné ralentit-il la chute ?

Seule la composante du poids parallèle au plan, $m g sin α$ mgsinα, accélère la bille (en négligeant la rotation) : l'accélération vaut $g sin α$ gsinα, le mouvement garde la même forme.

La vitesse à l'arrivée dépend-elle de la masse ?

Non : $v = 2 g h$ v=√(2gh), d'après les équations horaires ou la conservation de l'énergie mécanique.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que les objets lourds tombent plus vite à cause de leur poids.
Écrire z = gt² en oubliant le ½.
Confondre vitesse et distance parcourue pendant une seconde.

Revoir les notions

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