Donnez une primitive de $1/x$ et justifiez.

$ln x$ sur $]0;+∞[$, car $ln'(x)=1/x$.

Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Comment une fusée peut-elle accélérer dans le vide, où il n'y a rien sur quoi s'appuyer ?

Q: Que faudrait-il pour Δv = 18 km/s avec u = 3 km/s ?

$m₀/m_f=e⁶≈400$ : le carré du rapport précédent. D'où les fusées à plusieurs étages.

Q: Un canon recule-t-il pour la même raison ?

Oui : $m_ canon v_ canon =-m_ obus v_ obus $ ; c'est le même principe pour une seule éjection.

La conservation de la quantité de mouvement explique la propulsion par réaction ; en ajoutant les petites éjections de gaz, on obtient Δv = u ln(m₀/m_f) : avec des gaz éjectés à 3 km/s, il faut une fusée 20 fois plus lourde au départ qu'à l'arrivée pour gagner 9 km/s.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Je pensais qu'une fusée avançait en « poussant » sur l'air, comme un nageur sur l'eau. Mais elle accélère aussi dans le vide spatial. En étudiant la quantité de mouvement en terminale, j'ai compris le principe ; en cherchant pourquoi les fusées sont presque entièrement faites de carburant, j'ai trouvé une formule où apparaît le logarithme népérien.

L'enjeu et les notions du programme

Appliquer la conservation de la quantité de mouvement, puis obtenir l'équation de Tsiolkovski grâce à la primitive de 1/x.

Mathématiques

Logarithme népérien, primitive de 1/x (terminale)
Propriétés algébriques : $ln 20 = ln 2 + ln 10$ ln20=ln2+ln10 (terminale)
Exponentielle, réciproque du logarithme (terminale)

Physique-chimie

Quantité de mouvement, système isolé, propulsion par réaction (terminale)
Deuxième loi de Newton (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Dans le vide, rien ne peut pousser la fusée. Problématique : d'où vient son accélération, et combien de carburant faut-il pour atteindre une vitesse donnée ?
2. Physique : la propulsion par réaction
3 min
La fusée et les gaz forment un système isolé (on néglige la pesanteur) : sa quantité de mouvement $p = m v$ vecteur p =m vecteur v se conserve. Au départ, tout est immobile : $p = 0$ vecteur p =vec0. Si des gaz de masse $m_{g}$ m_g partent vers l'arrière à la vitesse $v_{g}$ vecteur v _g, la fusée de masse $m_{f}$ m_f part vers l'avant : $m_{f} v_{f} + m_{g} v_{g} = 0$ m_f vecteur v _f+m_g vecteur v _g= vecteur 0.
Comme un patineur qui lance une balle recule, la fusée avance parce qu'elle projette de la matière vers l'arrière : elle s'appuie sur ses propres gaz.
3. Mathématiques : l'équation de Tsiolkovski
4 min
Les gaz sortent à la vitesse $u$ u par rapport à la fusée. Quand la fusée de masse $m$ m éjecte une petite masse $δ m$ δ m, sa vitesse augmente de $δ v \approx u \frac{δ m}{m}$ δ v≈ u(δ m)/m : chaque kilogramme éjecté rapporte d'autant plus que la fusée est légère.
En additionnant ces petits gains quand la masse passe de $m_{0}$ m₀ à $m_{f}$ m_f : $Δ v = u \int_{m_{f}}^{m_{0}} \frac{d m}{m} = u (ln m_{0} - ln m_{f}) = u ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$ Δ v=u∫_m_f^(m₀)dm/m=u(ln m₀-ln m_f)=ulnm₀/m_f. C'est ici que le logarithme apparaît, comme primitive de $\frac{1}{m}$ 1/m.
Pour atteindre l'orbite, il faut environ $9$ 9 km/s (pertes comprises). Avec $u = 3$ u=3 km/s : $ln \frac{m _{0}}{m _{f}} = 3$ lnm₀/m_f=3, donc $\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{3} \approx 20$ m₀/m_f=e³≈20 : à la main, $ln 20 = ln 2 + ln 10 \approx 0, 69 + 2, 30 \approx 3$ ln20=ln2+ln10≈0,69+2,30≈3. Une fusée de 20 tonnes n'en met donc qu'une en orbite, structure comprise.
4. Conclusion
2 min
Une fusée accélère dans le vide en éjectant des gaz vers l'arrière : c'est la conservation de la quantité de mouvement. Le gain de vitesse ne croît que comme le logarithme du rapport des masses, ce qui explique que les fusées soient surtout faites de carburant et qu'on largue les étages vides. J'ouvre sur les moteurs ioniques, qui éjectent peu de matière mais beaucoup plus vite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m_{f} v_{f} + m_{g} v_{g} = 0 m_f vecteur v _f+m_g vecteur v _g=vec0 δ v = u \frac{δ m}{m} \Rightarrow Δ v = u \int_{m_{f}}^{m_{0}} \frac{d m}{m} = u ln \frac{m _{0}}{m _{f}} δ v=u (δ m)/m \Rightarrow Δ v=u\int_m_f^(m₀)dm/m=ulnm₀/m_f Δ v = 9, u = 3 \Rightarrow \frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{3} \approx 20 Δ v=9, u=3 \Rightarrow m₀/m_f=e³\approx20

Conclusion : la réponse à la question

La fusée avance en éjectant des gaz, sans rien sur quoi s'appuyer : la quantité de mouvement totale reste nulle. Le gain de vitesse $u ln \frac{m _{0}}{m _{f}}$ ulnm₀/m_f ne croît que logarithmiquement avec le rapport des masses : doubler la vitesse finale exigerait d'élever ce rapport au carré.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la vitesse ne croît-elle que comme un logarithme ?

Le carburant qu'on emporte doit lui-même être accéléré : chaque kilogramme supplémentaire rapporte $u \frac{δ m}{m}$ u(δ m)/m, d'autant moins que la fusée est lourde.

Que faudrait-il pour Δv = 18 km/s avec u = 3 km/s ?

$\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{6} \approx 400$ m₀/m_f=e⁶≈400 : le carré du rapport précédent. D'où les fusées à plusieurs étages.

Pourquoi largue-t-on les étages ?

Un réservoir vide est une masse morte : s'en débarrasser diminue m et augmente le gain des éjections suivantes.

Un canon recule-t-il pour la même raison ?

Oui : $m_{canon} v_{canon} = - m_{obus} v_{obus}$ m_ canon v_ canon =-m_ obus v_ obus ; c'est le même principe pour une seule éjection.

Donnez une primitive de

\frac{1}{x}

1/x et justifiez.

$ln x$ ln x sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[, car $ln^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ln'(x)=1/x.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que la fusée pousse sur l'air.
Croire que la vitesse finale est proportionnelle à la masse de carburant.
Oublier que la masse de la fusée varie pendant la poussée.

Revoir les notions

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