Comment savoir si une mesure est compatible avec la valeur de référence ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, notre groupe a trouvé $g=9,70$g=9,70 m/s², alors que la valeur attendue est 9,81. Un autre groupe a trouvé 9,76 avec une incertitude plus grande. Lequel des deux résultats est « bon » ? Le professeur a parlé d'écart normalisé, un rapport qui ressemble à ce qu'on fait en probabilités. J'ai voulu comprendre ce critère et d'où vient le seuil de 2.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser un écart normalisé pour juger la compatibilité d'une mesure, en le reliant à la dispersion d'une variable aléatoire.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Groupe A : $g=9,70\pm 0,05$g=9,70±0,05 m/s². Groupe B : $g=9,76\pm 0,10$g=9,76±0,10 m/s². Référence : $9,81$9,81 m/s². Problématique : quel résultat est compatible avec la référence ?

2. 2. Physique : l'écart normalisé

   3 min

   On ne compare pas seulement les écarts, mais les écarts rapportés à l'incertitude : $z=\frac{|x-x_{\text{reˊf}}|}{u(x)}$z=(|x-x_ réf |)/u(x). Groupe A : $z=\frac{0,11}{0,05}=2,2$z=0,11/0,05=2,2. Groupe B : $z=\frac{0,05}{0,10}=0,5$z=0,05/0,10=0,5.

   Usage : si $z\le 2$z≤2, le résultat est jugé compatible ; sinon, on cherche une cause (erreur systématique, incertitude sous-estimée). Le groupe A, pourtant plus précis, est incompatible ; le groupe B est compatible. Une petite incertitude rend la mesure plus exigeante.

3. 3. Mathématiques : pourquoi le seuil 2 ?

   4 min

   On modélise le résultat par une variable aléatoire d'espérance $x_{\text{reˊf}}$x_ réf (si la mesure est juste) et d'écart type $u$u. La question devient : est-il probable d'observer un écart de $2,2u$2,2u ?

   L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev garantit, pour toute loi, $P(|X-\mu |\ge 2u)\le \frac{u^2}{(2u{)}^2}=\frac{1}{4}$P(|X-μ|≥2u)lequ²/(2u)²=1/4. Pour une loi en cloche (loi normale, qui décrit bien les erreurs aléatoires), cette probabilité tombe à environ 5 % : 95 % des résultats sont à moins de 2 écarts types.

   Un écart de plus de 2 écarts types est donc peu probable si la mesure est juste : on le considère comme un signal d'alerte, pas comme une preuve. Sur 20 groupes qui mesurent correctement, environ un dépassera ce seuil par hasard.

4. 4. Conclusion

   2 min

   On juge une mesure avec l'écart normalisé $z=\frac{|x-x_{\text{reˊf}}|}{u}$z=(|x-x_ réf |)/u : au-delà de 2, le résultat est peu compatible, car une erreur aléatoire dépasse rarement deux écarts types. Le groupe le plus précis n'est pas forcément celui qui « a raison ». J'ouvre sur la découverte du boson de Higgs, annoncée à 5 écarts types, un seuil bien plus exigeant.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Juger une mesure sur son écart brut sans tenir compte de l'incertitude.
• Croire qu'un z < 2 prouve l'exactitude.
• Présenter le seuil 2 comme une règle mathématique absolue.

Revoir les notions

• Concentration et loi des grands nombres (Terminale spé maths) →
• Variables aléatoires (lois) (Terminale spé maths) →

Autres questions : mesure et incertitudes

• Pourquoi répéter une mesure la rend-elle plus précise, et jusqu'où ?
• Quand on additionne deux longueurs mesurées, pourquoi les incertitudes ne s'additionnent-elles pas ?
• Comment calculer l'incertitude sur une puissance P = U × I mesurée avec deux appareils ?
• Comment tracer la « meilleure » droite passant par des points de mesure ?

Toutes les questions maths-physique-chimie →