Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Quand on additionne deux longueurs mesurées, pourquoi les incertitudes ne s'additionnent-elles pas ?

Q: Démontrez √(x² + y²) ≤ x + y pour x, y ≥ 0.

Les deux membres sont positifs et $(x+y)²=x²+y²+2xy≥ x²+y²$.

Q: Incertitude sur la somme de 10 longueurs d'incertitude 0,1 mm chacune ?

$√(10×0,01)≈0,32$ mm, et non 1 mm.

Q: Pourquoi la différence a-t-elle la même incertitude que la somme ?

$V(Eₐ-E_b)=V(Eₐ)+V(-E_b)=V(Eₐ)+V(E_b)$.

Q: Un résultat 37,0 ± 0,5 mm est-il compatible avec une valeur de référence de 37,8 mm ?

Écart normalisé $0,8/0,5=1,6<2$ : oui, compatible.

Pour deux mesures indépendantes, u(a + b) = √(u(a)² + u(b)²) : 0,3 mm et 0,4 mm donnent 0,5 mm et non 0,7 mm. La règle vient de l'additivité des variances, et la géométrie de Pythagore la rend visible.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons mesuré deux segments, chacun avec une incertitude, puis leur somme. J'aurais additionné les incertitudes, mais le professeur a utilisé une racine carrée de la somme des carrés. Cela ressemblait au théorème de Pythagore. J'ai voulu comprendre d'où vient cette règle et pourquoi elle donne une incertitude plus petite que l'addition.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier la composition quadratique des incertitudes par la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes.

Mathématiques

Variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes (terminale)
Inégalité √(a² + b²) ≤ a + b (seconde)
Théorème de Pythagore, norme d'un vecteur (collège, seconde)

Physique-chimie

Incertitude-type, incertitudes composées (terminale)
Mesures de longueurs, écriture d'un résultat avec son incertitude (seconde, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On mesure $a = 12, 0$ a=12,0 mm avec $u (a) = 0, 3$ u(a)=0,3 mm et $b = 25, 0$ b=25,0 mm avec $u (b) = 0, 4$ u(b)=0,4 mm. Problématique : quelle incertitude sur $a + b$ a+b, et pourquoi pas $0, 7$ 0,7 mm ?
2. Mathématiques : additivité des variances
3,5 min
On modélise les erreurs par des variables aléatoires $E_{a}$ Eₐ et $E_{b}$ E_b indépendantes, d'espérance nulle, d'écarts types $u (a)$ u(a) et $u (b)$ u(b). L'erreur sur la somme est $E_{a} + E_{b}$ Eₐ+E_b ; pour des variables indépendantes, $V (E_{a} + E_{b}) = V (E_{a}) + V (E_{b})$ V(Eₐ+E_b)=V(Eₐ)+V(E_b).
Donc $u (a + b)^{2} = u (a)^{2} + u (b)^{2}$ u(a+b)²=u(a)²+u(b)², soit $u (a + b) = 0, 3^{2} + 0, 4^{2} = 0, 25 = 0, 5$ u(a+b)=√(0,3²+0,4²)=√(0,25)=0,5 mm. Résultat : $a + b = 37, 0 \pm 0, 5$ a+b=37,0±0,5 mm.
Comme $x^{2} + y^{2} \leq x + y$ √(x²+y²)≤ x+y pour $x, y \geq 0$ x,y≥0 (en élevant au carré : $x^{2} + y^{2} \leq x^{2} + 2 x y + y^{2}$ x²+y²≤ x²+2xy+y²), l'incertitude composée est toujours inférieure à la somme des incertitudes.
3. Interprétation
3,5 min
Additionner les incertitudes supposerait que les deux erreurs sont toujours maximales et de même signe : c'est le pire des cas, rarement réalisé. Des erreurs indépendantes se compensent parfois.
Image géométrique : on représente les deux erreurs par des vecteurs orthogonaux (indépendance). L'erreur totale est la diagonale du rectangle de côtés $0, 3$ 0,3 et $0, 4$ 0,4 : sa longueur est $0, 5$ 0,5, comme dans le triangle 3-4-5 de Pythagore.
Conséquence pratique : l'incertitude la plus grande domine. Avec $u (a) = 0, 1$ u(a)=0,1 et $u (b) = 1$ u(b)=1, $u (a + b) = 1, 01 \approx 1, 005$ u(a+b)=√(1,01)≈1,005 : améliorer la mesure de $a$ a ne sert presque à rien, il faut améliorer celle de $b$ b. La même règle vaut pour une différence : $u (a - b) = u (a)^{2} + u (b)^{2}$ u(a-b)=√(u(a)²+u(b)²), car $V (- E_{b}) = V (E_{b})$ V(-E_b)=V(E_b).
4. Conclusion
2 min
Les incertitudes de mesures indépendantes se composent quadratiquement, parce que ce sont les variances qui s'additionnent : $0, 3$ 0,3 et $0, 4$ 0,4 mm donnent $0, 5$ 0,5 mm. La règle ressemble au théorème de Pythagore, et elle montre qu'il faut d'abord réduire la plus grande source d'incertitude. J'ouvre sur l'incertitude d'un produit, qui se compose de la même façon en valeurs relatives.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V (E_{a} + E_{b}) = V (E_{a}) + V (E_{b}) \Rightarrow u (a + b) = u (a)^{2} + u (b)^{2} V(Eₐ+E_b)=V(Eₐ)+V(E_b) \Rightarrow u(a+b)=\sqrt(u(a)²+u(b)²) 0, 3^{2} + 0, 4^{2} = 0, 25 = 0, 5 mm < 0, 3 + 0, 4 \sqrt(0,3²+0,4²)=\sqrt(0,25)=0,5 mm <0,3+0,4 u (a - b) = u (a)^{2} + u (b)^{2} u(a-b)=\sqrt(u(a)²+u(b)²)

Conclusion : la réponse à la question

Pour une somme ou une différence de mesures indépendantes, les incertitudes s'ajoutent en carrés : $u = u (a)^{2} + u (b)^{2}$ u=√(u(a)²+u(b)²). C'est une conséquence de l'additivité des variances, toujours plus favorable que la somme des incertitudes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Et si les erreurs ne sont pas indépendantes ?

Par exemple deux mesures faites avec la même règle mal graduée : les erreurs vont dans le même sens, on revient plutôt à une addition.

Démontrez √(x² + y²) ≤ x + y pour x, y ≥ 0.

Les deux membres sont positifs et $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y \geq x^{2} + y^{2}$ (x+y)²=x²+y²+2xy≥ x²+y².

Incertitude sur la somme de 10 longueurs d'incertitude 0,1 mm chacune ?

$10 \times 0, 01 \approx 0, 32$ √(10×0,01)≈0,32 mm, et non 1 mm.

Pourquoi la différence a-t-elle la même incertitude que la somme ?

$V (E_{a} - E_{b}) = V (E_{a}) + V (- E_{b}) = V (E_{a}) + V (E_{b})$ V(Eₐ-E_b)=V(Eₐ)+V(-E_b)=V(Eₐ)+V(E_b).

Quelle mesure améliorer en priorité ?

Celle qui a la plus grande incertitude : elle domine la somme des carrés.

Un résultat 37,0 ± 0,5 mm est-il compatible avec une valeur de référence de 37,8 mm ?

Écart normalisé $\frac{0 , 8}{0 , 5} = 1, 6 < 2$ 0,8/0,5=1,6<2 : oui, compatible.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner directement les incertitudes.
Soustraire les incertitudes pour une différence.
Appliquer la règle quadratique à des erreurs liées.

Revoir les notions

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