Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Pourquoi répéter une mesure la rend-elle plus précise, et jusqu'où ?

Q: Pourquoi les variances s'additionnent-elles et pas les écarts types ?

Pour des variables indépendantes, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ : les erreurs se compensent en partie. Additionner les écarts types supposerait des erreurs toujours de même sens.

Q: Combien de mesures pour une incertitude de 0,005 m/s² ?

$0,043/( √n )≤0,005⇔ √n ≥8,6⇔ n≥74$.

La moyenne de n mesures indépendantes a une variance σ²/n : son incertitude-type vaut s/√n. Dix mesures de g d'écart type 0,043 m/s² donnent une incertitude de 0,014 ; pour la diviser par 2, il faut quatre fois plus de mesures.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons mesuré dix fois l'accélération de la pesanteur et trouvé des valeurs toutes différentes. Le professeur nous a dit de faire la moyenne et de diviser l'écart type par $10$ √(10) pour obtenir l'incertitude. Je ne comprenais pas d'où venait cette racine carrée. En terminale, le cours sur la somme de variables aléatoires indépendantes m'a donné la réponse.

L'enjeu et les notions du programme

Justifier la formule de l'incertitude-type sur une moyenne par la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes.

Mathématiques

Espérance et variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes (terminale)
Variance de aX, moyenne empirique (terminale)
Écart type d'une série statistique (seconde)

Physique-chimie

Variabilité de la mesure, incertitude-type, évaluation de type A (seconde, terminale)
Écriture d'un résultat avec son incertitude (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Dix mesures de $g$ g donnent 9,78 ; 9,85 ; 9,71 ; 9,80 ; 9,83 ; 9,76 ; 9,79 ; 9,82 ; 9,74 ; 9,81 m/s². Problématique : quel résultat annoncer, avec quelle incertitude, et pourquoi répéter la mesure améliore-t-il la précision ?
2. Physique : moyenne et écart type
3 min
La moyenne vaut $\overset{m}{ˉ} \approx 9, 789$ bar m≈9,789 m/s² et l'écart type expérimental $s \approx 0, 043$ s≈0,043 m/s². L'écart type décrit la dispersion d'une mesure isolée : une nouvelle mesure tombera typiquement à $0, 04$ 0,04 près.
Mais on annonce la moyenne, qui est plus fiable qu'une mesure isolée. Son incertitude-type (évaluation de type A) vaut $u = \frac{s}{n} = \frac{0 , 043}{10} \approx 0, 014$ u=s/( √n )=0,043/√(10)≈0,014 m/s². Résultat : $g = 9, 789 \pm 0, 014$ g=9,789±0,014 m/s².
3. Mathématiques : pourquoi √n
4 min
On modélise chaque mesure par une variable aléatoire $X_{i}$ Xᵢ d'espérance $μ$ μ (la vraie valeur, sans erreur systématique) et de variance $σ^{2}$ σ², les $X_{i}$ Xᵢ étant indépendantes. La moyenne $M = \frac{1}{n} (X_{1} + \dots + X_{n})$ M=1/n(X₁+…+Xₙ) a pour espérance $μ$ μ.
Pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent : $V (X_{1} + \dots + X_{n}) = n σ^{2}$ V(X₁+…+Xₙ)=nσ². Et $V (a X) = a^{2} V (X)$ V(aX)=a²V(X). Donc $V (M) = \frac{1}{n ^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n}$ V(M)=1/n²× nσ²=σ²/n, et l'écart type de la moyenne vaut $\frac{σ}{n}$ σ/( √n ).
Conséquence : pour diviser l'incertitude par 2, il faut quatre fois plus de mesures ; pour la diviser par 10, cent fois plus. Le gain ralentit. Et la répétition ne corrige pas les erreurs systématiques (un chronomètre mal étalonné décale toutes les mesures dans le même sens) : seule la dispersion aléatoire diminue.
4. Conclusion
2 min
Répéter une mesure rend la moyenne plus précise parce que les erreurs aléatoires se compensent en partie : la variance de la moyenne est divisée par $n$ n, son écart type par $n$ √n. Le gain est réel mais lent, et ne corrige pas les erreurs systématiques. J'ouvre sur l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui garantit la concentration de la moyenne autour de la vraie valeur.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\overset{m}{ˉ} \approx 9, 789 m/s^{2}, s \approx 0, 043 m/s^{2}, u = \frac{s}{n} = \frac{0 , 043}{10} \approx 0, 014 m/s^{2} bar m\approx9,789 m/s ², s\approx0,043 m/s ², u=s/\sqrt(n)=0,043/\sqrt(10)\approx0,014 m/s ² V (\frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n} V ((X₁+\dots+Xₙ)/n)=1/n²\times nσ²=σ²/n

Conclusion : la réponse à la question

L'incertitude-type sur une moyenne de $n$ n mesures indépendantes vaut $\frac{s}{n}$ s/( √n ), parce que la variance de la moyenne est $\frac{σ ^{2}}{n}$ σ²/n. Répéter la mesure améliore la précision, mais avec un rendement décroissant et sans effet sur les erreurs systématiques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi les variances s'additionnent-elles et pas les écarts types ?

Pour des variables indépendantes, $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ V(X+Y)=V(X)+V(Y) : les erreurs se compensent en partie. Additionner les écarts types supposerait des erreurs toujours de même sens.

Combien de mesures pour une incertitude de 0,005 m/s² ?

$\frac{0 , 043}{n} \leq 0, 005 ⟺ n \geq 8, 6 ⟺ n \geq 74$ 0,043/( √n )≤0,005⇔ √n ≥8,6⇔ n≥74.

Qu'est-ce qu'une erreur systématique ?

Une erreur qui décale toutes les mesures dans le même sens (étalonnage, méthode) ; la moyenne ne l'élimine pas.

Pourquoi s se calcule-t-il avec n − 1 ?

Pour estimer sans biais la variance à partir de la moyenne de l'échantillon, qui est elle-même estimée ; avec n = 10 la différence est faible.

Comment écrire le résultat ?

g = 9,789 m/s² avec u(g) = 0,014 m/s² : on arrondit l'incertitude à deux chiffres significatifs et la valeur au même rang.

Les pièges qui coûtent des points

Prendre l'écart type des mesures comme incertitude sur la moyenne.
Croire que la répétition corrige une erreur systématique.
Additionner les écarts types au lieu des variances.

Revoir les notions

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