Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Comment tracer la « meilleure » droite passant par des points de mesure ?

Q: Retrouvez le sommet de ax² + bx + c.

$x=-b/2a$, par la forme canonique ou en annulant la dérivée $2ax+b$.

Q: Une erreur de mesure de 1 V sur le dernier point change-t-elle beaucoup R ?

Elle change $Σ IᵢUᵢ$ de $0,5$ : $R$ varie de $0,5/0,55≈0,9$ Ω. Les carrés donnent du poids aux points extrêmes.

Pour une loi U = RI, on choisit R qui minimise S(R) = Σ(Uᵢ − RIᵢ)², un trinôme du second degré en R dont le minimum est R = ΣIᵢUᵢ/ΣIᵢ² : 5,502/0,55 ≈ 10,0 Ω pour cinq mesures.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, j'ai mesuré la tension aux bornes d'une résistance pour cinq intensités. Les points étaient presque alignés, et le tableur traçait une droite « de régression ». Je me demandais comment l'ordinateur choisissait cette droite plutôt qu'une autre. J'ai découvert qu'elle minimise une somme de carrés, et que pour une droite passant par l'origine, le calcul se ramène au sommet d'une parabole.

L'enjeu et les notions du programme

Formuler un critère d'ajustement par une somme de carrés et le minimiser grâce au second degré.

Mathématiques

Fonction polynôme du second degré, sommet (première)
Sommes, notation Σ (première)
Ajustement affine d'un nuage de points (seconde, première)

Physique-chimie

Loi d'Ohm (collège, seconde)
Modélisation, régression linéaire (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Mesures : $I = 0, 1$ I=0,1 ; $0, 2$ 0,2 ; $0, 3$ 0,3 ; $0, 4$ 0,4 ; $0, 5$ 0,5 A et $U = 1, 02$ U=1,02 ; $1, 98$ 1,98 ; $3, 05$ 3,05 ; $3, 96$ 3,96 ; $5, 01$ 5,01 V. Problématique : quelle valeur de $R$ R choisir pour que la droite $U = R I$ U=RI passe « au mieux » par ces points ?
2. Le critère des moindres carrés
3 min
Pour une valeur $R$ R, le modèle prévoit $R I_{i}$ RIᵢ et l'on mesure $U_{i}$ Uᵢ : l'écart est $U_{i} - R I_{i}$ Uᵢ-RIᵢ, appelé résidu. On ne peut pas simplement additionner les résidus (les positifs et les négatifs se compenseraient) ; on additionne leurs carrés : $S (R) = \sum_{i} (U_{i} - R I_{i})^{2}$ S(R)=Σᵢ(Uᵢ-RIᵢ)².
La meilleure droite est celle qui rend $S$ S minimal. Les carrés pénalisent fortement les grands écarts et rendent le calcul simple.
3. Mathématiques : un trinôme à minimiser
4 min
En développant : $S (R) = \sum U_{i}^{2} - 2 R \sum I_{i} U_{i} + R^{2} \sum I_{i}^{2}$ S(R)=Σ Uᵢ²-2RΣ IᵢUᵢ+R²Σ Iᵢ². C'est un trinôme du second degré en $R$ R, de coefficient $\sum I_{i}^{2} > 0$ Σ Iᵢ²>0 : une parabole tournée vers le haut, dont le minimum est au sommet, en $R = - \frac{b}{2 a} = \frac{\sum I _{i} U _{i}}{\sum I _{i}^{2}}$ R=-b/2a=(Σ IᵢUᵢ)/(Σ Iᵢ²).
Calcul : $\sum I_{i}^{2} = 0, 01 + 0, 04 + 0, 09 + 0, 16 + 0, 25 = 0, 55$ Σ Iᵢ²=0,01+0,04+0,09+0,16+0,25=0,55 et $\sum I_{i} U_{i} = 0, 102 + 0, 396 + 0, 915 + 1, 584 + 2, 505 = 5, 502$ Σ IᵢUᵢ=0,102+0,396+0,915+1,584+2,505=5,502. D'où $R = \frac{5 , 502}{0 , 55} \approx 10, 0$ R=5,502/0,55≈10,0 Ω.
Pour une droite quelconque $y = a x + b$ y=ax+b, on minimise une somme de carrés en deux variables : la méthode est la même, et donne la droite de régression du tableur. Les résidus, une fois tracés, permettent de vérifier le modèle : s'ils sont répartis au hasard autour de 0, il est validé ; s'ils dessinent une courbe, la relation n'est pas linéaire.
4. Conclusion
2 min
La meilleure droite est celle qui minimise la somme des carrés des écarts ; pour $U = R I$ U=RI, cette somme est un trinôme en $R$ R dont le sommet donne $R = \frac{\sum I _{i} U _{i}}{\sum I _{i}^{2}} \approx 10, 0$ R=(Σ IᵢUᵢ)/(Σ Iᵢ²)≈10,0 Ω. J'ouvre sur Gauss et Legendre, qui ont inventé la méthode vers 1800 pour calculer des orbites de planètes à partir d'observations imprécises.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

S (R) = i \sum (U_{i} - R I_{i})^{2} = \sum U_{i}^{2} - 2 R \sum I_{i} U_{i} + R^{2} \sum I_{i}^{2} S(R)=Σᵢ(Uᵢ-RIᵢ)²=Σ Uᵢ²-2RΣ IᵢUᵢ+R²Σ Iᵢ² R = \frac{\sum I _{i} U _{i}}{\sum I _{i}^{2}} = \frac{5 , 502}{0 , 55} \approx 10, 0 Ω R=(Σ IᵢUᵢ)/(Σ Iᵢ²)=5,502/0,55\approx10,0 Ω

Conclusion : la réponse à la question

La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des résidus ; pour un modèle $U = R I$ U=RI, cette somme est un trinôme dont le sommet donne la pente optimale. Les mathématiques transforment « la droite qui passe au mieux » en un calcul précis.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi ne pas minimiser la somme des écarts en valeur absolue ?

C'est possible (et plus robuste aux valeurs aberrantes), mais la valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : le calcul ne se ramène plus à un sommet de parabole.

Retrouvez le sommet de ax² + bx + c.

$x = - \frac{b}{2 a}$ x=-b/2a, par la forme canonique ou en annulant la dérivée $2 a x + b$ 2ax+b.

Pourquoi forcer la droite à passer par l'origine ?

La loi d'Ohm prévoit U = 0 pour I = 0 ; si le modèle est connu, on l'impose.

Que signifient des résidus qui forment une courbe ?

Le modèle linéaire ne convient pas : par exemple, une lampe dont la résistance change avec la température.

Une erreur de mesure de 1 V sur le dernier point change-t-elle beaucoup R ?

Elle change $\sum I_{i} U_{i}$ Σ IᵢUᵢ de $0, 5$ 0,5 : $R$ R varie de $\frac{0 , 5}{0 , 55} \approx 0, 9$ 0,5/0,55≈0,9 Ω. Les carrés donnent du poids aux points extrêmes.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les écarts sans les élever au carré.
Calculer R comme la moyenne des rapports Uᵢ/Iᵢ sans le justifier.
Valider un modèle sans regarder les résidus.

Revoir les notions

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