Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Comment calculer l'incertitude sur une puissance P = U × I mesurée avec deux appareils ?

Q: Pourquoi l'incertitude sur le volume d'une sphère est-elle trois fois celle du rayon ?

$V=4/3π r³$ et $(1+ε)³≈1+3ε$ : l'exposant multiplie l'incertitude relative.

Q: Que vaut l'incertitude absolue de P ?

$u(P)=Ptimesu(P)/P=6,00×0,013≈0,08$ W.

En écrivant U = U₀(1 + ε₁) et I = I₀(1 + ε₂), on a P ≈ P₀(1 + ε₁ + ε₂) : les incertitudes relatives d'un produit se composent quadratiquement. 0,8 % sur U et 1 % sur I donnent 1,3 % sur P = 6,00 ± 0,08 W.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP d'électricité, nous avons mesuré une tension et une intensité, puis calculé la puissance. Mon voltmètre et mon ampèremètre avaient chacun leur incertitude, et je ne savais pas comment les combiner pour un produit. J'ai découvert qu'il faut raisonner en incertitudes relatives, et qu'une approximation affine explique pourquoi.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser l'approximation (1 + ε₁)(1 + ε₂) ≈ 1 + ε₁ + ε₂ pour composer des incertitudes relatives, et l'étendre aux puissances.

Mathématiques

Développement, termes négligeables d'ordre 2 (seconde)
Approximation affine de $(1 + x)^{n}$ (1+x)ⁿ (première)
Variance d'une somme de variables indépendantes (terminale)

Physique-chimie

Puissance électrique P = UI (première)
Incertitude-type, incertitude relative, incertitudes composées (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On mesure $U = 12, 0$ U=12,0 V avec $u (U) = 0, 1$ u(U)=0,1 V et $I = 0, 500$ I=0,500 A avec $u (I) = 0, 005$ u(I)=0,005 A. La puissance vaut $P = 6, 00$ P=6,00 W. Problématique : quelle incertitude sur $P$ P ?
2. Mathématiques : passer aux erreurs relatives
4 min
Écrivons $U = U_{0} (1 + ε_{1})$ U=U₀(1+ε₁) et $I = I_{0} (1 + ε_{2})$ I=I₀(1+ε₂), où $ε_{1}$ ε₁ et $ε_{2}$ ε₂ sont de petites erreurs relatives. Alors $P = U_{0} I_{0} (1 + ε_{1}) (1 + ε_{2}) = P_{0} (1 + ε_{1} + ε_{2} + ε_{1} ε_{2})$ P=U₀I₀(1+ε₁)(1+ε₂)=P₀(1+ε₁+ε₂+ε₁ε₂).
Le terme $ε_{1} ε_{2}$ ε₁ε₂ est d'ordre 2, négligeable ( $0, 01 \times 0, 01 = 0, 0001$ 0,01×0,01=0,0001). L'erreur relative sur $P$ P est donc la somme des erreurs relatives. Par la règle des variances pour des erreurs indépendantes : $\frac{u ( P )}{P} = (\frac{u ( U )}{U})^{2} + (\frac{u ( I )}{I})^{2}$ u(P)/P=√((u(U)/U)²+(u(I)/I)²).
Application : $\frac{0 , 1}{12} \approx 0, 83$ 0,1/12≈0,83 % et $\frac{0 , 005}{0 , 5} = 1$ 0,005/0,5=1 %, d'où $\frac{u ( P )}{P} \approx 0, 8 3^{2} + 1^{2} \approx 1, 3$ u(P)/P≈√(0,83²+1²)≈1,3 %, et $u (P) \approx 0, 08$ u(P)≈0,08 W. Résultat : $P = 6, 00 \pm 0, 08$ P=6,00±0,08 W.
3. Extension : quotients et puissances
3 min
Pour un quotient $R = \frac{U}{I}$ R=U/I, $\frac{1}{1 + ε} \approx 1 - ε$ 1/(1+ε)≈1-ε donne une erreur relative $ε_{1} - ε_{2}$ ε₁-ε₂ : la même règle quadratique s'applique.
Pour une puissance, $(1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε$ (1+ε)ⁿ≈1+nε (approximation affine) : l'erreur relative est multipliée par l'exposant. Une erreur de 1 % sur un rayon donne 3 % sur le volume d'une sphère, $\frac{4}{3} π r^{3}$ 4/3π r³. Et pour $P = \frac{U ^{2}}{R}$ P=U²/R, l'incertitude relative est $(2 \times 0, 83 %)^{2} + (u_{R} / R)^{2}$ √((2×0,83 %)²+(u_R/R)²) : la tension compte double.
On repère ainsi la grandeur dont il faut améliorer la mesure : ici, l'intensité, qui contribue le plus.
4. Conclusion
2 min
Pour un produit ou un quotient, ce sont les incertitudes relatives qui se composent quadratiquement, parce que $(1 + ε_{1}) (1 + ε_{2}) \approx 1 + ε_{1} + ε_{2}$ (1+ε₁)(1+ε₂)≈1+ε₁+ε₂. La puissance mesurée vaut $6, 00 \pm 0, 08$ 6,00±0,08 W. J'ouvre sur la mesure de $g$ g avec un pendule, où la période élevée au carré double son incertitude relative.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

(1 + ε_{1}) (1 + ε_{2}) = 1 + ε_{1} + ε_{2} + ε_{1} ε_{2} \approx 1 + ε_{1} + ε_{2} (1+ε₁)(1+ε₂)=1+ε₁+ε₂+ε₁ε₂\approx1+ε₁+ε₂ \frac{u ( P )}{P} = (\frac{0 , 1}{12})^{2} + (\frac{0 , 005}{0 , 5})^{2} \approx 1, 3 % \Rightarrow P = 6, 00 \pm 0, 08 W u(P)/P=\sqrt((0,1/12)²+(0,005/0,5)²)\approx1,3 % \Rightarrow P=6,00\pm0,08 W (1 + ε)^{n} \approx 1 + n ε (1+ε)ⁿ\approx1+nε

Conclusion : la réponse à la question

L'incertitude d'un produit se calcule en valeurs relatives : $\frac{u ( P )}{P} = (\frac{u ( U )}{U})^{2} + (\frac{u ( I )}{I})^{2}$ u(P)/P=√((u(U)/U)²+(u(I)/I)²). L'approximation affine en est la clé, et elle montre qu'un exposant multiplie l'incertitude relative.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi négliger ε₁ε₂ ?

Pour des erreurs de l'ordre de 1 %, leur produit est de l'ordre de 0,01 %, cent fois plus petit.

Incertitude relative sur l'aire d'un carré si le côté est connu à 2 % près ?

$(1 + 0, 02)^{2} \approx 1, 04$ (1+0,02)²≈1,04 : 4 %.

Et sur R = U/I ?

La même : environ 1,3 %, soit R = 24,0 ± 0,3 Ω.

Pourquoi raisonner en relatif et pas en absolu ?

Dans un produit, une erreur absolue sur U se multiplie par I : ce sont les erreurs relatives qui se combinent simplement.

Quelle grandeur mesurer plus précisément ?

L'intensité : elle apporte 1 % contre 0,83 %.

Pourquoi l'incertitude sur le volume d'une sphère est-elle trois fois celle du rayon ?

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ V=4/3π r³ et $(1 + ε)^{3} \approx 1 + 3 ε$ (1+ε)³≈1+3ε : l'exposant multiplie l'incertitude relative.

Que vaut l'incertitude absolue de P ?

$u (P) = P \times \frac{u ( P )}{P} = 6, 00 \times 0, 013 \approx 0, 08$ u(P)=Ptimesu(P)/P=6,00×0,013≈0,08 W.

Pourquoi l'approximation affine suffit-elle ici ?

Les incertitudes relatives sont de l'ordre du pour cent : les termes d'ordre 2 qu'elle néglige sont de l'ordre du dix-millième, très inférieurs à la précision des appareils.

Comment réduire l'incertitude sur P ?

Choisir un calibre d'ampèremètre plus adapté : c'est l'intensité qui contribue le plus. Améliorer seulement le voltmètre ne ferait gagner que peu.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les incertitudes absolues d'un produit.
Oublier le facteur 2 pour une grandeur élevée au carré.
Donner l'incertitude avec plus de chiffres que la mesure.

Revoir les notions

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