Pourquoi une voiture consomme-t-elle beaucoup plus sur autoroute à 130 km/h qu'à 90 km/h ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Lors d'un trajet en voiture électrique, mes parents ont vu l'autonomie fondre sur l'autoroute, beaucoup plus vite qu'en roulant sur nationale. Ils roulaient pourtant seulement 40 km/h plus vite. En étudiant la force de frottement de l'air, j'ai compris que l'énergie consommée dépend du carré de la vitesse, et la puissance de son cube.

L'enjeu et les notions du programme

Relier force, énergie par unité de distance et puissance par des fonctions puissances, et interpréter leurs taux d'accroissement.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   À vitesse constante, le moteur compense les forces résistantes, surtout la résistance de l'air aux grandes vitesses. Problématique : comment l'énergie consommée dépend-elle de la vitesse ?

2. 2. Physique : la traînée

   3 min

   La force de résistance de l'air sur une voiture se modélise par $F=\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^2$F=1/2ρ SCₓ v², où $\rho \approx 1,2$ρ≈1,2 kg/m³ et $S{C}_x\approx 0,6$SCₓ≈0,6 m² pour une voiture courante. À 90 km/h ($25$25 m/s), $F\approx 225$F≈225 N ; à 130 km/h ($36,1$36,1 m/s), $F\approx 470$F≈470 N.

   Le travail sur un kilomètre vaut $F\times 1000$F×1 000 m : $0,06$0,06 kWh à 90 km/h, $0,13$0,13 kWh à 130 km/h. La puissance à fournir vaut $P=Fv$P=Fv : environ $5,6$5,6 kW contre $17$17 kW.

3. 3. Mathématiques : carré et cube

   4 min

   L'énergie par kilomètre est proportionnelle à $v^2$v² : le rapport vaut ${\left(\frac{130}{90}\right)}^2\approx 2,1$(130/90)²≈2,1. La puissance est proportionnelle à $v^3$v³ : rapport ${\left(\frac{130}{90}\right)}^3\approx 3,0$(130/90)³≈3,0.

   Lecture par les dérivées : pour $E(v)=k{v}^2$E(v)=kv², $\frac{E^{\prime }(v)}{E(v)}=\frac{2}{v}$E'(v)/E(v)=2/v ; une hausse de 1 % de la vitesse augmente l'énergie par kilomètre d'environ 2 %, et la puissance d'environ 3 %. Rouler à 120 au lieu de 130 km/h (−7,7 %) économise environ 15 % de l'énergie consommée contre l'air.

   Le temps gagné, lui, n'est que proportionnel à $\frac{1}{v}$1/v : sur 100 km, passer de 90 à 130 km/h fait gagner 20 minutes, mais coûte deux fois plus d'énergie contre l'air. Les autres pertes (roulement, moteur) atténuent un peu l'effet, d'où des consommations réelles environ 1,5 à 1,8 fois plus fortes.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une voiture consomme beaucoup plus à 130 km/h parce que la résistance de l'air croît comme le carré de la vitesse : l'énergie par kilomètre double presque entre 90 et 130 km/h, et la puissance triple. J'ouvre sur l'aérodynamique des voitures électriques, qui cherchent à réduire $S{C}_x$SCₓ pour gagner en autonomie.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Penser que l'énergie est proportionnelle à la vitesse.
• Confondre énergie par kilomètre (∝ v²) et puissance (∝ v³).
• Oublier la conversion en m/s.

Revoir les notions

• Dérivation locale (Première spé maths) →
• Fonction carré et fonction inverse (Seconde) →

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