Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Comment une courbe d'étalonnage permet-elle de mesurer une concentration inconnue ?

Q: Qu'est-ce qu'une fonction réciproque ?

La fonction qui à une image associe son antécédent ; pour $f(c)=kc$, c'est $AmapstoA/k$.

On mesure une grandeur pour des solutions de concentrations connues, on ajuste une droite A = kc, puis on lit la concentration inconnue par la fonction réciproque c = A/k : une absorbance de 0,54 avec k = 0,12 L/mmol donne 4,5 mmol/L.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous avons dosé le colorant d'un sirop de menthe. Nous avons d'abord préparé des solutions de concentrations connues pour tracer une droite, puis placé le sirop sur cette droite pour lire sa concentration. Cette méthode, utilisée dans tous les laboratoires d'analyse, repose sur une idée mathématique simple : lire une fonction à l'envers.

L'enjeu et les notions du programme

Construire un modèle linéaire par ajustement, l'inverser pour déterminer une valeur inconnue et discuter le domaine de validité (interpolation contre extrapolation).

Mathématiques

Fonctions linéaires, fonction réciproque (seconde)
Ajustement affine, moindres carrés (seconde, première)
Interpolation et extrapolation (seconde)

Physique-chimie

Dosage par étalonnage, loi de Beer-Lambert (première)
Solutions étalons, dilutions (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On veut connaître la concentration d'un colorant dans un sirop. On sait mesurer son absorbance $A$ A, qui dépend de la concentration $c$ c. Problématique : comment passer de la mesure de $A$ A à la valeur de $c$ c ?
2. Physique : la gamme d'étalonnage
3 min
On prépare, par dilution, des solutions étalons de concentrations connues (1, 2, 3, 4, 5, 6 mmol/L) et l'on mesure leurs absorbances. D'après la loi de Beer-Lambert, $A = k c$ A=kc en solution diluée : les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.
On ajuste cette droite (moindres carrés) : $k \approx 0, 12$ k≈0,12 L/mmol. Puis on mesure l'absorbance du sirop, dilué si nécessaire : $A = 0, 54$ A=0,54.
3. Mathématiques : lire la fonction à l'envers
4 min
La courbe d'étalonnage est le graphe de $f : c \mapsto k c$ f:c↦ kc. On connaît l'image $A$ A et l'on cherche l'antécédent : $c = f^{- 1} (A) = \frac{A}{k} = \frac{0 , 54}{0 , 12} = 4, 5$ c=f⁻¹(A)=A/k=0,54/0,12=4,5 mmol/L. Graphiquement, on part de $A$ A sur l'axe vertical, on rejoint la droite, puis on descend sur l'axe horizontal.
Condition essentielle : la mesure doit tomber à l'intérieur de la gamme d'étalonnage (interpolation). En dehors (extrapolation), rien ne garantit que la loi reste linéaire : la loi de Beer-Lambert n'est plus valable aux fortes concentrations. Si le sirop pur donne une absorbance trop grande, on le dilue d'un facteur connu, puis on multiplie le résultat par ce facteur.
L'incertitude sur $k$ k, issue de l'ajustement, se répercute sur $c$ c : en valeur relative, $\frac{u ( c )}{c} = (\frac{u ( A )}{A})^{2} + (\frac{u ( k )}{k})^{2}$ u(c)/c=√((u(A)/A)²+(u(k)/k)²).
4. Conclusion
2 min
Une courbe d'étalonnage construit, à partir d'étalons connus, une fonction qui relie la mesure à la concentration ; on lit ensuite la concentration inconnue comme un antécédent, ici 4,5 mmol/L. La méthode n'est valable qu'à l'intérieur de la gamme. J'ouvre sur les tests de glycémie et les analyses médicales, qui reposent tous sur un étalonnage.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A = k c (droite d’ \overset{e}{ˊ} talonnage) c = f^{- 1} (A) = \frac{A}{k} = \frac{0 , 54}{0 , 12} = 4, 5 mmol/L A=k c ( droite d'étalonnage ) c=f⁻¹(A)=A/k=0,54/0,12=4,5 mmol/L \frac{u ( c )}{c} = (\frac{u ( A )}{A})^{2} + (\frac{u ( k )}{k})^{2} u(c)/c=\sqrt((u(A)/A)²+(u(k)/k)²)

Conclusion : la réponse à la question

L'étalonnage fabrique une fonction mesure-concentration à partir d'étalons ; la concentration inconnue en est un antécédent, lu par la fonction réciproque. Il faut rester dans la gamme d'étalonnage : interpoler, jamais extrapoler sans précaution.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi ne pas utiliser une valeur de ε trouvée dans un livre ?

ε dépend de la longueur d'onde, du spectrophotomètre et des conditions : l'étalonnage intègre tous ces paramètres.

Que faire si l'absorbance du sirop vaut 2,1 ?

Elle est hors de la gamme (et de la validité de Beer-Lambert) : on dilue le sirop, par exemple 5 fois, et l'on multiplie le résultat par 5.

Qu'est-ce qu'une fonction réciproque ?

La fonction qui à une image associe son antécédent ; pour $f (c) = k c$ f(c)=kc, c'est $A \mapsto \frac{A}{k}$ AmapstoA/k.

Pourquoi la droite doit-elle passer par l'origine ?

Une solution sans colorant n'absorbe pas : on règle le zéro avec le solvant seul (le « blanc »).

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Interpoler, c'est estimer entre des points mesurés ; extrapoler, c'est prolonger le modèle au-delà, ce qui est risqué.

Les pièges qui coûtent des points

Extrapoler au-delà de la gamme d'étalonnage.
Oublier de multiplier par le facteur de dilution.
Lire la courbe dans le mauvais sens.

Revoir les notions

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