Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Combien de temps les déchets nucléaires restent-ils dangereux ?

Q: Pourquoi ln(1 000)/ln(2) ≈ 10 ?

$2¹⁰=1 024≈1 000$, donc $log₂ 1 000≈10$.

Q: Un noyau très radioactif est-il un noyau de demi-vie longue ?

Non : à nombre de noyaux égal, l'activité $ln2/(t_1/2)N$ est d'autant plus forte que la demi-vie est courte.

Diviser l'activité par 1 000 demande ln(1 000)/ln 2 ≈ 10 demi-vies : 240 000 ans pour le plutonium 239 (24 100 ans), 300 ans pour le césium 137 (30 ans). La réponse dépend de chaque noyau et du seuil choisi.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans un débat sur l'énergie nucléaire, j'ai entendu un intervenant dire que les déchets restent dangereux « pour toujours » et un autre « quelques siècles ». Les deux semblaient sûrs d'eux. J'ai voulu comprendre ce que disent vraiment les mathématiques : il n'y a jamais de disparition totale, mais on peut calculer le temps pour diviser l'activité par un facteur donné.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le logarithme pour calculer un temps de décroissance, et montrer qu'une réponse chiffrée dépend des hypothèses (noyau, seuil).

Mathématiques

Logarithme, résolution de 2^(−x) ≤ k (terminale)
Approximation $2^{10} \approx 1 0^{3}$ 2¹⁰≈10³ (seconde)
Limite de l'exponentielle en +∞ (terminale)

Physique-chimie

Demi-vie, activité (terminale)
Énergie nucléaire, produits de fission (enseignement scientifique, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un déchet nucléaire contient plusieurs noyaux radioactifs, de demi-vies très différentes. Problématique : peut-on donner un sens précis à « combien de temps reste-t-il dangereux » ?
2. Mathématiques : jamais zéro, mais un seuil
3 min
L'activité vaut $A (t) = A_{0} 2^{- t / t_{1/2}}$ A(t)=A₀ 2^(-t/t_1/2). Elle tend vers 0 sans jamais l'atteindre : au sens strict, le déchet n'est jamais « inactif ». La bonne question fixe un facteur de réduction $k$ k : $2^{- t / t_{1/2}} \leq \frac{1}{k} ⟺ t \geq t_{1/2} \frac{l n k}{l n 2}$ 2^(-t/t_1/2)≤1/k⇔ t≥ t_1/2(ln k)/ln2.
Pour $k = 1000$ k=1 000 : $\frac{l n 1 000}{l n 2} \approx 9, 97$ (ln1 000)/ln2≈9,97, environ 10 demi-vies, ce qu'on retrouve de tête avec $2^{10} = 1024$ 2¹⁰=1 024. Pour $k = 1 0^{6}$ k=10⁶, 20 demi-vies.
3. Physique : des noyaux très différents
4 min
Le césium 137 ( $t_{1/2} \approx 30$ t_1/2≈30 ans), très actif au début, est divisé par mille en 300 ans. Le plutonium 239 ( $t_{1/2} = 24100$ t_1/2=24 100 ans) est divisé par mille en environ $240000$ 240 000 ans. L'iode 131 (8 jours) a disparu en quelques mois.
D'où deux réalités qui se superposent : une activité très forte les premiers siècles, due aux noyaux de demi-vie courte, puis une activité faible mais très durable, due aux noyaux de demi-vie longue. Les deux intervenants du débat parlaient de noyaux différents.
Le danger dépend aussi de l'activité de départ et du type de rayonnement : on compare souvent l'activité du déchet à celle du minerai d'uranium dont il provient. C'est ce critère qui conduit au stockage géologique profond, prévu pour des centaines de milliers d'années.
4. Conclusion
2 min
Un déchet nucléaire ne cesse jamais mathématiquement d'être radioactif ; on calcule le temps nécessaire pour diviser son activité par un facteur choisi : environ dix demi-vies pour mille. Selon les noyaux, cela va de quelques siècles à des centaines de milliers d'années. J'ouvre sur la transmutation, qui cherche à transformer les noyaux à vie longue en noyaux à vie courte.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

A (t) = A_{0} 2^{- t / t_{1/2}} 2^{- t / t_{1/2}} \leq \frac{1}{k} ⟺ t \geq t_{1/2} \frac{ln k}{ln 2} A(t)=A₀ 2^(-t/t_1/2) 2^(-t/t_1/2)\leq1/k\Leftrightarrow t\geq t_1/2 (ln k)/ln2 k = 1000 : \frac{ln 1 000}{ln 2} \approx 9, 97 \approx 10 demi-vies k=1 000: (ln1 000)/ln2\approx9,97\approx10 demi-vies Cs 137 : 300 ans Pu 239 : \approx 240000 ans Cs 137 : 300 ans Pu 239 : \approx240 000 ans

Conclusion : la réponse à la question

Il n'y a pas une durée de dangerosité, mais une durée par noyau et par seuil : diviser l'activité par mille prend environ dix demi-vies. Les mathématiques transforment une question de débat en calculs précis, à condition d'expliciter les hypothèses.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi ln(1 000)/ln(2) ≈ 10 ?

$2^{10} = 1024 \approx 1000$ 2¹⁰=1 024≈1 000, donc $lo g_{2} 1000 \approx 10$ log₂ 1 000≈10.

Un noyau très radioactif est-il un noyau de demi-vie longue ?

Non : à nombre de noyaux égal, l'activité $\frac{l n 2}{t _{1/2}} N$ ln2/(t_1/2)N est d'autant plus forte que la demi-vie est courte.

Combien de temps pour diviser par 10⁶ l'activité du césium 137 ?

Environ 20 demi-vies, soit 600 ans.

La limite de A(t) en +∞ ?

0, mais A(t) > 0 pour tout t : la fonction ne s'annule jamais.

Pourquoi le stockage est-il prévu à 500 m de profondeur ?

Pour isoler les déchets à vie longue des eaux souterraines et de l'activité humaine pendant des durées qui dépassent toute institution.

Les pièges qui coûtent des points

Dire qu'un déchet devient inoffensif au bout d'une demi-vie.
Comparer des noyaux sans tenir compte de leur activité de départ.
Annoncer une durée sans préciser le seuil choisi.

Revoir les notions

Autres questions : radioactivité et datation

Toutes les questions maths-physique-chimie →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →