Pourquoi une voiture dérape-t-elle dans un virage pris trop vite ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un panneau sur une route de montagne recommandait 50 km/h dans un virage serré, alors que la limitation était de 80. Je me suis demandé d'où venait ce chiffre et pourquoi la vitesse conseillée baisse quand le virage se resserre. En terminale, j'ai appris qu'un mouvement circulaire uniforme est accéléré : c'est la clé de l'explication.

L'enjeu et les notions du programme

Dériver une fonction vectorielle construite avec cosinus et sinus pour obtenir l'accélération centripète, puis traduire une condition physique en inégalité.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Dans un virage, la valeur de la vitesse peut rester constante, mais sa direction change. Problématique : quelle force faut-il pour tourner, et que se passe-t-il si elle manque ?

2. 2. Mathématiques : l'accélération du mouvement circulaire

   3,5 min

   Un point parcourt un cercle de centre $O$O et de rayon $R$R à vitesse angulaire constante $\omega$ω : $\overrightarrow{OM}(t)=(R\cos (\omega t);R\sin (\omega t))$vecteur OM (t)=(Rcos(ω t); Rsin(ω t)). En dérivant chaque coordonnée : $\vec{v}=(-R\omega \sin (\omega t);R\omega \cos (\omega t))$vecteur v =(-Rωsin(ω t); Rωcos(ω t)), de norme $R\omega =v$Rω=v, tangent au cercle.

   En dérivant encore : $\vec{a}=(-R{\omega }^2\cos (\omega t);-R{\omega }^2\sin (\omega t))=-{\omega }^2\overrightarrow{OM}$vecteur a =(-Rω²cos(ω t); -Rω²sin(ω t))=-ω² vecteur OM. L'accélération est dirigée vers le centre, de norme $R{\omega }^2=\frac{v^2}{R}$Rω²=v²/R. Un mouvement circulaire uniforme est donc accéléré.

3. 3. Physique : la limite d'adhérence

   3,5 min

   D'après la deuxième loi de Newton, il faut une force horizontale $m\frac{v^2}{R}$mv²/R dirigée vers le centre. Sur une route plate, seul le frottement des pneus peut la fournir, et il ne dépasse pas $\mu mg$μ mg, où $\mu$μ est le coefficient d'adhérence. La condition $m\frac{v^2}{R}\le \mu mg$mv²/R≤μ mg donne $v\le \sqrt{\mu gR}$v≤√(μ gR).

   Avec $R=50$R=50 m et $g=10$g=10 m/s² : sur route sèche ($\mu \approx 0,8$μ≈0,8), $v_{\text{max}}=\sqrt{400}=20$v_ max =√(400)=20 m/s, soit 72 km/h ; sous la pluie ($\mu \approx 0,4$μ≈0,4), $\sqrt{200}\approx 14,1$√(200)≈14,1 m/s, environ 51 km/h. Au-delà, la voiture ne décrit plus le cercle : elle part tout droit selon la tangente, conformément au principe d'inertie.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une voiture dérape quand l'accélération centripète $\frac{v^2}{R}$v²/R exigée par le virage dépasse ce que l'adhérence peut fournir. La vitesse maximale $\sqrt{\mu gR}$√(μ gR) diminue quand le virage se resserre ou quand la route est mouillée. J'ouvre sur les virages relevés des circuits, inclinés pour que la réaction du sol aide à tourner.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Dire qu'un mouvement à vitesse constante n'est pas accéléré.
• Oublier le facteur ω en dérivant cos(ωt).
• Invoquer une force centrifuge dans le référentiel terrestre.

Revoir les notions

• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →
• Compléments sur la dérivation (Terminale spé maths) →

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