Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Quelle est la durée de vie moyenne d'un noyau radioactif, et pourquoi n'est-elle pas égale à la demi-vie ?

Q: Justifiez Te⁽−λT) → 0.

Par croissances comparées : $T/(e^(λ T))→0$, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Q: Pourquoi λe⁽−λt) dt est-il la proportion de noyaux qui meurent entre t et t + dt ?

C'est $-N'(t)/N₀dt$, la diminution relative de $N$ pendant $dt$.

Q: Vérifiez que ∫₀^(∞) λe⁽−λt) dt = 1.

$[-e^(-λ t)]₀^(+∞)=0-(-1)=1$ : tous les noyaux finissent par se désintégrer.

La durée de vie moyenne vaut τ = 1/λ, calculée par une intégration par parties ; elle dépasse la demi-vie d'un facteur 1/ln 2 ≈ 1,44 parce que quelques noyaux vivent très longtemps : 8 270 ans pour le carbone 14.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En cours, on a parlé à la fois de « demi-vie » et de « constante de temps », et je les confondais. Je pensais que la demi-vie était l'âge moyen auquel un noyau meurt. En calculant la moyenne avec une intégrale, j'ai découvert qu'elle est 44 % plus grande. J'ai voulu comprendre cette différence entre médiane et moyenne.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une moyenne continue par une intégrale (intégration par parties) et distinguer médiane et moyenne d'une distribution asymétrique.

Mathématiques

Intégration par parties (terminale)
Limite $t e^{- λ t} \to 0$ te^(-λ t)→0 (croissances comparées, terminale)
Médiane et moyenne (seconde)

Physique-chimie

Décroissance radioactive, constante radioactive, demi-vie (terminale)
Temps caractéristique τ = 1/λ (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux a disparu : c'est une médiane. Problématique : quelle est la durée de vie moyenne d'un noyau, et pourquoi diffère-t-elle ?
2. Le calcul de la moyenne
4 min
Entre $t$ t et $t + d t$ t+dt, il se désintègre $λ N_{0} e^{- λ t} d t$ λ N₀e^(-λ t) dt noyaux, qui ont vécu $t$ t. La durée moyenne est la somme des durées divisée par $N_{0}$ N₀ : $τ = \int_{0}^{+ \infty} t λ e^{- λ t} d t$ τ=∫₀^(+∞)t λ e^(-λ t) dt.
Sur $[0; T]$ [0;T], par parties avec $u = t$ u=t et $v^{'} = λ e^{- λ t}$ v'=λ e^(-λ t) ( $v = - e^{- λ t}$ v=-e^(-λ t)) : $\int_{0}^{T} t λ e^{- λ t} d t = [- t e^{- λ t}]_{0}^{T} + \int_{0}^{T} e^{- λ t} d t = - T e^{- λ T} + \frac{1 - e ^{- λ T}}{λ}$ ∫₀^(T)tλ e^(-λ t)dt=[-te^(-λ t)]₀^(T)+∫₀^(T)e^(-λ t)dt=-Te^(-λ T)+(1-e^(-λ T))/λ.
Quand $T \to + \infty$ T→+∞, $T e^{- λ T} \to 0$ Te^(-λ T)→0 (croissances comparées) et $e^{- λ T} \to 0$ e^(-λ T)→0 : $τ = \frac{1}{λ}$ τ=frac1λ.
3. Moyenne et médiane
3 min
La demi-vie vaut $t_{1/2} = \frac{l n 2}{λ}$ t_1/2=fracln2λ, donc $\frac{τ}{t _{1/2}} = \frac{1}{l n 2} \approx 1, 44$ τ/(t_1/2)=1/ln2≈1,44. Pour le carbone 14, $τ \approx \frac{5 730}{0 , 693} \approx 8270$ τ≈(5 730)/0,693≈8 270 ans.
La moyenne dépasse la médiane parce que la distribution des durées de vie est très asymétrique : la moitié des noyaux disparaît avant $t_{1/2}$ t_1/2, mais une minorité vit très longtemps (un sur mille au-delà de 10 demi-vies) et tire la moyenne vers le haut. C'est comme les salaires, où quelques très hauts revenus élèvent la moyenne au-dessus de la médiane.
Interprétation graphique : $τ$ τ est l'abscisse où la tangente à l'origine de $N (t)$ N(t) coupe l'axe des temps, et $N (τ) = \frac{N _{0}}{e} \approx 0, 37 N_{0}$ N(τ)=N₀/e≈0,37N₀.
4. Conclusion
2 min
La durée de vie moyenne d'un noyau vaut $\frac{1}{λ}$ frac1λ, soit environ 1,44 fois la demi-vie : la demi-vie est une médiane, et les noyaux qui vivent très longtemps augmentent la moyenne. L'intégration par parties permet ce calcul. J'ouvre sur l'espérance de vie humaine, elle aussi une moyenne, qu'on ne doit pas confondre avec l'âge médian au décès.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

τ=∫₀^(+∞)t λ e^(-λ t) dt=[-te^(-λ t)]₀^(+∞)+∫₀^(+∞)e^(-λ t) dt=frac1λτ/(t_1/2)=1/ln2≈1,44 τ_C14≈8 270 ansN(τ)=N₀/e≈0,37 N₀

Conclusion : la réponse à la question

La durée de vie moyenne d'un noyau est $τ = \frac{1}{λ}$ τ=frac1λ, différente de la demi-vie $\frac{l n 2}{λ}$ fracln2λ qui en est la médiane. L'écart vient de l'asymétrie de la loi : quelques noyaux très durables tirent la moyenne vers le haut.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez Te^(−λT) → 0.

Par croissances comparées : $\frac{T}{e ^{λ T}} \to 0$ T/(e^(λ T))→0, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

Pourquoi λe^(−λt) dt est-il la proportion de noyaux qui meurent entre t et t + dt ?

C'est $- \frac{N ^{'} ( t )}{N _{0}} d t$ -N'(t)/N₀dt, la diminution relative de $N$ N pendant $d t$ dt.

Quelle proportion de noyaux vit plus longtemps que la moyenne ?

$e^{- 1} \approx 37$ e⁻¹≈37 %.

Donnez un exemple où moyenne et médiane diffèrent.

Les salaires en France : le salaire moyen est nettement supérieur au salaire médian.

Vérifiez que ∫₀^∞ λe^(−λt) dt = 1.

$[- e^{- λ t}]_{0}^{+ \infty} = 0 - (- 1) = 1$ [-e^(-λ t)]₀^(+∞)=0-(-1)=1 : tous les noyaux finissent par se désintégrer.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre durée de vie moyenne et demi-vie.
Oublier le terme tout intégré dans l'intégration par parties.
Intégrer sur [0 ; t½] au lieu de [0 ; +∞[.

Revoir les notions

Autres questions : radioactivité et datation

Toutes les questions maths-physique-chimie →

Préparer l'oral, pas seulement le contenu

Gestion des 20 minutes de préparation, usage du tableau, posture debout, réponses au jury : la méthode complète, conforme aux règles de la session 2027.

Méthode : traiter une question de Grand oral →

Continuer la préparation

Le Grand oral 2027 →Méthode : traiter une question →Toutes les questions, par combinaison →Questions de maths seules →Questions maths-SES →Questions maths-SVT →Questions maths-NSI →Questions maths-SI →Questions maths-HGGSP →Questions maths-anglais →