Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Comment un écran tactile sait-il que mon doigt le touche ?

Q: Résolvez $1-e^(-x)=0,9$.

$e^(-x)=0,1$, donc $x=ln10≈2,3$.

Q: Qu'est-ce qu'un picofarad ?

$10⁻¹²$ F : les capacités en jeu sont minuscules.

Le doigt augmente la capacité C d'une électrode ; l'électronique mesure le temps de charge jusqu'à un seuil, t = RC ln(E/(E − u_s)), proportionnel à C : de 6,9 µs à 10,4 µs pour une capacité qui passe de 10 à 15 pF.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Mon téléphone réagit à mon doigt mais pas à un stylo en plastique ni à un gant. J'ai appris que l'écran mesure une capacité électrique, et que la mesure se fait en chronométrant la charge d'un condensateur. J'ai voulu comprendre comment une équation différentielle et un logarithme transforment une variation de capacité en un temps mesurable.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre une équation exponentielle avec le logarithme pour relier un temps de charge à une capacité.

Mathématiques

Fonction exponentielle et équation e^x = k (terminale)
Logarithme népérien (terminale)
Proportionnalité (seconde)

Physique-chimie

Condensateur, capacité, circuit RC (terminale)
Capteurs capacitifs (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Sous la vitre, une grille d'électrodes forme de petits condensateurs. Le doigt, conducteur, augmente la capacité de l'électrode la plus proche. Problématique : comment mesurer rapidement une petite variation de capacité ?
2. Physique : un temps de charge
3 min
L'électronique charge l'électrode à travers une résistance $R$ R sous une tension $E$ E et chronomètre le temps $t_{s}$ t_s pour que la tension atteigne un seuil $u_{s}$ u_s. D'après la charge d'un circuit RC, $u (t) = E (1 - e^{- t / R C})$ u(t)=E(1-e^(-t/RC)).
La capacité dépend de la géométrie : $C = ε \frac{S}{d}$ C=varepsilonS/d. Le doigt approche un conducteur de l'électrode, ce qui augmente $C$ C de quelques picofarads. Un stylo en plastique, isolant, ne change presque rien.
3. Mathématiques : du temps à la capacité
4 min
On résout $E (1 - e^{- t_{s} / R C}) = u_{s}$ E(1-e^(-t_s/RC))=u_s : $e^{- t_{s} / R C} = 1 - \frac{u _{s}}{E}$ e^(-t_s/RC)=1-u_s/E, d'où, avec le logarithme, $t_{s} = R C ln \frac{E}{E - u _{s}}$ t_s=RClnE/(E-u_s).
Le temps mesuré est proportionnel à $C$ C : le coefficient $R ln \frac{E}{E - u _{s}}$ RlnE/(E-u_s) est fixé par le circuit. Avec $u_{s} = \frac{E}{2}$ u_s=E/2, $t_{s} = R C ln 2$ t_s=RCln2. Pour $R = 1$ R=1 MΩ et $C = 10$ C=10 pF, $R C = 10$ RC=10 µs et $t_{s} \approx 6, 9$ t_s≈6,9 µs ; avec le doigt, $C = 15$ C=15 pF et $t_{s} \approx 10, 4$ t_s≈10,4 µs. Un écart de 3,5 µs, facile à mesurer pour un microprocesseur cadencé à des millions d'opérations par seconde.
Toutes les électrodes sont scrutées des dizaines de fois par seconde : la position du doigt est celle de l'électrode dont le temps a le plus augmenté.
4. Conclusion
2 min
L'écran détecte le doigt parce qu'il augmente la capacité d'une électrode, ce qui allonge proportionnellement son temps de charge, $R C ln \frac{E}{E - u _{s}}$ RClnE/(E-u_s). Le logarithme transforme un seuil de tension en durée. J'ouvre sur les capteurs capacitifs d'humidité ou de niveau de liquide, qui utilisent le même principe.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E (1 - e^{- t_{s} / R C}) = u_{s} ⟺ t_{s} = R C ln \frac{E}{E - u _{s}} E(1-e^(-t_s/RC))=u_s\Leftrightarrow t_s=RC lnE/(E-u_s) u_{s} = \frac{E}{2} : t_{s} = R C ln 2 \approx 0, 69 R C u_s=E/2: t_s=RCln2\approx0,69 RC R C = 10 μ s \to 6, 9 μ s R C = 15 μ s \to 10, 4 μ s RC=10 μ s \to6,9 μ s RC=15 μ s \to10,4 μ s

Conclusion : la réponse à la question

Un écran tactile mesure des capacités en chronométrant des charges de condensateur : le temps $R C ln \frac{E}{E - u _{s}}$ RClnE/(E-u_s) est proportionnel à la capacité, que le doigt augmente. Le logarithme fait le lien entre le seuil de tension et le temps mesuré.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi un gant empêche-t-il la détection ?

Il est isolant et épais : il éloigne le doigt conducteur et modifie très peu la capacité.

Résolvez

1 - e^{- x} = 0, 9

1-e^(-x)=0,9.

$e^{- x} = 0, 1$ e^(-x)=0,1, donc $x = ln 10 \approx 2, 3$ x=ln10≈2,3.

Pourquoi choisir un seuil u_s = E/2 plutôt que proche de E ?

Près de E, la courbe est presque plate : un petit bruit sur la tension décale beaucoup le temps mesuré. À E/2, la pente est plus forte et la mesure plus robuste.

Qu'est-ce qu'un picofarad ?

$1 0^{- 12}$ 10⁻¹² F : les capacités en jeu sont minuscules.

Comment l'écran détecte-t-il deux doigts ?

Chaque électrode (ou intersection de lignes et colonnes) est mesurée séparément : plusieurs maxima donnent plusieurs points de contact.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $ln (E - u_{s})$ ln(E-u_s) au lieu de $ln \frac{E}{E - u _{s}}$ lnE/(E-u_s).
Dire que le doigt « envoie du courant » à l'écran.
Oublier que le temps est proportionnel à C.

Revoir les notions

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