Avec quelle vitesse un pendule passe-t-il par sa position la plus basse ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant une horloge comtoise, je me suis demandé à quelle vitesse passe le balancier au point le plus bas. En physique, la conservation de l'énergie donne une formule avec un cosinus. En mathématiques, j'ai appris que, pour un petit angle, $1-\cos \theta$1-cosθ est presque proportionnel à ${\theta }^2$θ². J'ai voulu montrer comment cette approximation simplifie la formule et ce qu'elle révèle.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la conservation de l'énergie et l'approximation de 1 − cos θ par θ²/2 pour obtenir une loi de proportionnalité.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un pendule de longueur $L=1$L=1 m est lâché sans vitesse avec un angle $\theta$θ par rapport à la verticale. Problématique : quelle est sa vitesse au point le plus bas, et comment dépend-elle de $\theta$θ ?

2. 2. Physique : conservation de l'énergie

   3 min

   Le fil, perpendiculaire au mouvement, ne travaille pas ; sans frottements, l'énergie mécanique se conserve. Au départ, la masse est plus haute que le point le plus bas de $h=L-L\cos \theta =L(1-\cos \theta )$h=L-Lcosθ=L(1-cosθ) (triangle rectangle formé par le fil et la verticale).

   Donc $\frac{1}{2}m{v}^2=mgL(1-\cos \theta )$1/2mv²=mgL(1-cosθ) et $v=\sqrt{2gL(1-\cos \theta )}$v=√(2gL(1-cosθ)). Pour $\theta =30°$θ=30° : $1-\cos 30°\approx 0,134$1-cos30°≈0,134, $v\approx \sqrt{2\times 9,81\times 0,134}\approx 1,62$v≈√(2×9,81×0,134)≈1,62 m/s.

3. 3. Mathématiques : l'approximation des petits angles

   4 min

   Pour $\theta$θ petit en radians, $1-\cos \theta \approx \frac{{\theta }^2}{2}$1-cosθ≈θ²/2. On le montre avec $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$1-cosθ=2sin²fracθ2 et $\sin \frac{\theta }{2}\approx \frac{\theta }{2}$sinfracθ2≈fracθ2 : $2\times \frac{{\theta }^2}{4}=\frac{{\theta }^2}{2}$2×θ²/4=θ²/2.

   D'où $v\approx \sqrt{2gL\frac{{\theta }^2}{2}}=\theta \sqrt{gL}$v≈√(2gLθ²/2)=θ√(gL) : la vitesse maximale est proportionnelle à l'amplitude angulaire. Avec $\theta =30°=\frac{\pi }{6}\approx 0,524$θ=30°=fracπ6≈0,524 rad : $v\approx 0,524\times \sqrt{9,81}\approx 1,64$v≈0,524×√(9,81)≈1,64 m/s, à un peu plus de 1 % de la valeur exacte. À $10°$10°, l'écart est inférieur à 0,2 %.

   Cette proportionnalité est la signature d'un oscillateur harmonique : pour les petits angles, le pendule se comporte comme un ressort, avec une période qui ne dépend presque pas de l'amplitude, ce qui fait la régularité des horloges.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Le pendule passe au point bas à la vitesse $\sqrt{2gL(1-\cos \theta )}$√(2gL(1-cosθ)), presque égale à $\theta \sqrt{gL}$θ√(gL) pour les petits angles. L'approximation $1-\cos \theta \approx \frac{{\theta }^2}{2}$1-cosθ≈θ²/2 transforme une formule trigonométrique en proportionnalité. J'ouvre sur l'isochronisme des petites oscillations, découvert par Galilée en observant un lustre.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Calculer la hauteur par L sin θ au lieu de L(1 − cos θ).
• Utiliser l'approximation pour de grands angles.
• Mettre l'angle en degrés dans v ≈ θ√(gL).

Revoir les notions

• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →
• Trigonométrie (Première spé maths) →

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