Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Pourquoi l'énergie stockée dans un condensateur vaut-elle ½CU² et pas CU² ?

Q: Détaillez l'intégrale de la perte Joule.

$∫₀^(+∞)E²/Re^(-2t/RC)dt=E²/R[-RC/2e^(-2t/RC)]₀^(+∞)=E²/RcdotRC/2=1/2CE²$.

Q: Si l'on double la tension, que devient l'énergie stockée ?

Elle est multipliée par 4, car elle dépend de $U²$ ; la charge, elle, n'est que doublée.

Q: Un supercondensateur de 3 000 F sous 2,7 V stocke combien ?

$1/2×3 000×2,7²≈11$ kJ, environ 3 Wh : bien moins qu'une batterie de même taille, mais restitués très vite.

En chargeant charge après charge contre une tension qui augmente, le travail fourni est ∫ u dq = ∫ Cu du = ½CU² : l'aire d'un triangle sous la droite q ↦ q/C, et non celle du rectangle.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En physique, on m'a donné la formule $\frac{1}{2} C U^{2}$ 1/2CU² de l'énergie d'un condensateur. Comme l'énergie fournie par une pile qui déplace une charge $Q$ Q sous la tension $U$ U vaut $Q U = C U^{2}$ QU=CU², je me suis demandé où passait la moitié manquante. Le calcul intégral répond à la question, et la réponse fait apparaître l'aire d'un triangle.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer une énergie comme une intégrale et interpréter géométriquement un facteur ½.

Mathématiques

Intégrale d'une fonction continue, aire sous une courbe (terminale)
Primitive de x ↦ x (terminale)
Sommes de Riemann, méthode des rectangles (terminale)

Physique-chimie

Condensateur : q = Cu, énergie stockée (terminale)
Puissance p = ui, énergie comme intégrale de la puissance (première, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un condensateur de capacité $C$ C chargé sous $U$ U porte $Q = C U$ Q=CU. Problématique : pourquoi l'énergie stockée vaut-elle $\frac{1}{2} C U^{2}$ 1/2CU² et non $Q U = C U^{2}$ QU=CU² ?
2. Physique : la tension monte pendant la charge
3 min
Pour amener une petite charge $δ q$ δ q sur l'armature alors que la tension vaut $u$ u, il faut fournir l'énergie $u δ q$ u δ q. Au début, $u = 0$ u=0 : les premières charges ne coûtent rien. À la fin, $u = U$ u=U : les dernières coûtent $U δ q$ Uδ q.
La tension n'est pas constante : elle augmente avec la charge, $u = \frac{q}{C}$ u=q/C. Le produit $Q U$ QU supposerait que toutes les charges ont été déplacées sous la tension maximale.
3. Mathématiques : une intégrale
4 min
En additionnant les petits coûts : $E = \int_{0}^{Q} u d q = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = [\frac{q ^{2}}{2 C}]_{0}^{Q} = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C U^{2}$ mathcal E=∫₀^(Q) u dq=∫₀^(Q)q/C dq=[q²/2C]₀^(Q)=Q²/2C=1/2CU².
Géométriquement, c'est l'aire sous la droite $q \mapsto \frac{q}{C}$ qmapstoq/C entre 0 et $Q$ Q : un triangle de base $Q$ Q et de hauteur $U$ U, d'aire $\frac{1}{2} Q U$ 1/2QU. Le produit $Q U$ QU serait l'aire du rectangle. Avec la méthode des rectangles ( $n$ n paliers), on trouve $\frac{Q U}{n ^{2}} (0 + 1 + \dots + (n - 1)) = \frac{Q U}{2} \cdot \frac{n - 1}{n}$ QU/n²(0+1+…+(n-1))=QU/2·(n-1)/n, qui tend vers $\frac{Q U}{2}$ QU/2.
Où passe l'autre moitié de $Q U$ QU fournie par la pile ? Elle est dissipée par effet Joule dans la résistance du circuit, quelle que soit sa valeur : on peut le vérifier avec $\int_{0}^{+ \infty} R i^{2} d t = \frac{1}{2} C U^{2}$ ∫₀^(+∞)Ri² dt=1/2CU².
4. Conclusion
2 min
L'énergie d'un condensateur vaut $\frac{1}{2} C U^{2}$ 1/2CU² parce que la tension croît pendant la charge : c'est l'aire d'un triangle, pas d'un rectangle. La pile fournit $C U^{2}$ CU², dont la moitié est perdue en chaleur. J'ouvre sur l'énergie d'un ressort, $\frac{1}{2} k x^{2}$ 1/2kx², obtenue par le même calcul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

E = \int_{0}^{Q} u d q = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} d q = \frac{Q ^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} C U^{2} mathcal E=\int₀^(Q)u dq=\int₀^(Q)q/C dq=Q²/2C=1/2CU² aire du triangle = \frac{1}{2} Q U rectangles : \frac{Q U}{2} \cdot \frac{n - 1}{n} \to \frac{Q U}{2} aire du triangle =1/2 Q U rectangles : QU/2\cdot(n-1)/ntoQU/2 \int_{0}^{+ \infty} R (\frac{E}{R} e^{- t / R C})^{2} d t = \frac{E ^{2}}{R} \cdot \frac{R C}{2} = \frac{1}{2} C E^{2} \int₀^(+\infty)R(E/R e^(-t/RC))²dt=E²/RcdotRC/2=1/2CE²

Conclusion : la réponse à la question

L'énergie stockée vaut $\frac{1}{2} C U^{2}$ 1/2CU², aire du triangle sous la droite $u = \frac{q}{C}$ u=q/C, car les charges sont déplacées sous une tension qui augmente progressivement. L'autre moitié de l'énergie fournie par la pile est dissipée par effet Joule.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Calculez l'énergie d'un condensateur de 1 mF sous 12 V.

$\frac{1}{2} \times 1 0^{- 3} \times 144 = 0, 072$ 1/2×10⁻³×144=0,072 J.

Détaillez l'intégrale de la perte Joule.

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{E ^{2}}{R} e^{- 2 t / R C} d t = \frac{E ^{2}}{R} [- \frac{R C}{2} e^{- 2 t / R C}]_{0}^{+ \infty} = \frac{E ^{2}}{R} \cdot \frac{R C}{2} = \frac{1}{2} C E^{2}$ ∫₀^(+∞)E²/Re^(-2t/RC)dt=E²/R[-RC/2e^(-2t/RC)]₀^(+∞)=E²/RcdotRC/2=1/2CE².

Pourquoi cette perte ne dépend-elle pas de R ?

Une petite résistance donne un courant fort mais bref, une grande un courant faible mais long : les deux effets se compensent exactement.

Où est stockée cette énergie ?

Dans le champ électrique entre les armatures : c'est une énergie du champ, et non des charges elles-mêmes.

Si l'on double la tension, que devient l'énergie stockée ?

Elle est multipliée par 4, car elle dépend de $U^{2}$ U² ; la charge, elle, n'est que doublée.

Calculez 0 + 1 + … + (n − 1).

$\frac{n ( n - 1 )}{2}$ (n(n-1))/2.

Un supercondensateur de 3 000 F sous 2,7 V stocke combien ?

$\frac{1}{2} \times 3000 \times 2, 7^{2} \approx 11$ 1/2×3 000×2,7²≈11 kJ, environ 3 Wh : bien moins qu'une batterie de même taille, mais restitués très vite.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire E = QU en considérant la tension constante.
Oublier la constante d'intégration ou les bornes.
Croire que l'énergie perdue dépend de la résistance.

Revoir les notions

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