Comment une lunette astronomique grossit-elle la Lune ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Avec la lunette de mon club d'astronomie, la Lune remplissait presque tout le champ, alors qu'à l'œil nu elle est toute petite. On m'a dit que la lunette grossit 90 fois, en divisant deux distances focales. J'ai voulu comprendre d'où vient cette formule, et pourquoi on parle d'angles plutôt que de tailles.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser la trigonométrie et l'approximation des petits angles pour établir le grossissement d'un instrument afocal.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   La Lune est vue à l'œil nu sous un angle d'environ $0,5°$0,5°, son diamètre apparent. Problématique : comment une lunette augmente-t-elle cet angle, et de combien ?

2. 2. Physique : un système afocal

   3 min

   L'objectif (focale $f_1^{\prime }$f₁', grande) donne de la Lune une image intermédiaire $A_1{B}_1$A₁B₁ dans son plan focal image, car la Lune est à l'infini. L'oculaire (focale $f_2^{\prime }$f₂', petite) est placé pour que son foyer objet coïncide avec ce plan : l'image finale est rejetée à l'infini, l'œil observe sans fatigue. On dit la lunette afocale.

   On compare des angles, car l'objet et l'image sont à l'infini : seule leur taille angulaire a un sens.

3. 3. Mathématiques : le grossissement

   4 min

   Le rayon qui passe par le centre de l'objectif n'est pas dévié : dans le triangle rectangle formé avec l'image intermédiaire, $\tan \theta =\frac{A_1{B}_1}{f_1^{\prime }}$tanθ=A₁B₁/f₁'. De même, à la sortie de l'oculaire, $\tan {\theta }^{\prime }=\frac{A_1{B}_1}{f_2^{\prime }}$tanθ'=A₁B₁/f₂'.

   Pour des angles petits en radians, $\tan \theta \approx \theta$tanθ≈θ. Le grossissement vaut $G=\frac{{\theta }^{\prime }}{\theta }\approx \frac{A_1{B}_1/f_2^{\prime }}{A_1{B}_1/f_1^{\prime }}=\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}$G=θ'/θ≈(A₁B₁/f₂')/(A₁B₁/f₁')=f₁'/f₂'. La taille de l'image intermédiaire se simplifie.

   Avec $f_1^{\prime }=900$f₁'=900 mm et $f_2^{\prime }=10$f₂'=10 mm : $G=90$G=90. La Lune, vue sous $0,5°$0,5°, apparaît sous environ $45°$45°. L'approximation n'est plus parfaite pour un angle aussi grand ($\tan 45°=1$tan45°=1 contre $0,785$0,785 rad), mais elle donne l'ordre de grandeur. Changer d'oculaire change le grossissement : un oculaire de 25 mm donne $G=36$G=36.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Une lunette grossit la Lune parce qu'elle multiplie l'angle sous lequel on la voit par le rapport des focales, $\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}$f₁'/f₂', résultat de deux triangles rectangles et de l'approximation $\tan \theta \approx \theta$tanθ≈θ. J'ouvre sur le diamètre de l'objectif, qui fixe la luminosité et la finesse des détails visibles, indépendamment du grossissement.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Inverser les focales dans le grossissement.
• Utiliser des degrés dans l'approximation tan θ ≈ θ.
• Croire qu'un grossissement plus fort montre toujours plus de détails.

Revoir les notions

• Trigonométrie (triangle rectangle) (Seconde) →
• Fonctions trigonométriques (Terminale spé maths) →

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