Question transversaleMathsPhysique-chimieOptique

Où se forme l'image d'un objet à travers une lentille convergente ?

Q: Pourquoi OA est-il négatif ?

On oriente l'axe dans le sens de la lumière : l'objet réel est avant la lentille, donc à gauche de O.

Q: Où placer l'objet pour une image de même taille ?

$γ=-1$ : $OA̅=-2f'$ et $OA'̅=2f'$.

Q: Calculez la dérivée de g.

$g'(x)=(10(10+x)-10x)/((10+x)²)=100/((10+x)²)>0$ : $g$ est croissante sur chaque intervalle de définition (dans les mesures algébriques).

La relation de conjugaison 1/OA' − 1/OA = 1/f' donne OA' = f'·OA/(f' + OA), une fonction homographique : l'image part à l'infini quand l'objet approche du foyer, et devient virtuelle (loupe) quand l'objet le dépasse.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, en déplaçant un objet devant une lentille, l'image sur l'écran changeait de place et de taille, jusqu'à disparaître quand l'objet était trop près. Avec une loupe, on voit au contraire une image agrandie à travers la lentille. J'ai voulu comprendre ces comportements avec une seule formule, et j'ai découvert qu'elle se lit comme une fonction homographique avec une asymptote.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction homographique (variations, asymptotes) et interpréter ses valeurs dans un modèle optique.

Mathématiques

Fonction inverse, fonctions homographiques (seconde, première)
Limites et asymptotes (terminale)
Mesures algébriques, signe (seconde)

Physique-chimie

Lentille mince convergente, foyers, distance focale (première)
Relation de conjugaison, grandissement (première)
Image réelle, image virtuelle (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une lentille convergente de distance focale $f^{'} = 10$ f'=10 cm forme l'image d'un objet placé devant elle. Problématique : où se trouve l'image, et pourquoi son comportement change-t-il si brusquement près du foyer ?
2. Physique : la relation de conjugaison
3 min
Avec l'origine au centre optique $O$ O et l'axe orienté dans le sens de la lumière, l'objet est en $A$ A ( $\overline{O A} < 0$ OA̅<0) et l'image en $A^{'}$ A'. La relation de conjugaison s'écrit $\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$ 1/OA'̅-1/OA̅=1/f', et le grandissement vaut $γ = \frac{O A ^{'}}{O A}$ γ=OA'̅/OA̅.
En isolant : $\overline{O A^{'}} = \frac{f ^{'} \times O A}{f ^{'} + O A}$ OA'̅=f'timesOA̅/(f'+OA̅). Notons $x = \overline{O A}$ x=OA̅ : l'image est donnée par $g (x) = \frac{10 x}{10 + x}$ g(x)=10x/(10+x).
3. Mathématiques : lecture de la fonction
4 min
$g$ g n'est pas définie en $x = - 10$ x=-10 : l'objet au foyer objet n'a pas d'image à distance finie (les rayons ressortent parallèles). Asymptote verticale $x = - f^{'}$ x=-f', et $g (x) \to f^{'}$ g(x)→ f' quand $x \to - \infty$ x→-∞ : un objet très lointain donne une image au foyer image.
Valeurs : $x = - 30$ x=-30 donne $g = 15$ g=15 cm et $γ = - 0, 5$ γ=-0,5 (image réelle, renversée, deux fois plus petite) ; $x = - 20$ x=-20 donne $g = 20$ g=20, $γ = - 1$ γ=-1 ; $x = - 15$ x=-15 donne $g = 30$ g=30, $γ = - 2$ γ=-2 ; $x = - 10, 5$ x=-10,5 donne $g = 210$ g=210 cm, $γ = - 20$ γ=-20. Pour $x = - 5$ x=-5, $g = - 10$ g=-10 : l'image est du même côté que l'objet, virtuelle et droite, avec $γ = 2$ γ=2 : c'est la loupe.
Sur $] - \infty; - 10 [$ ]-∞;-10[, $g$ g est croissante, de $10$ 10 (objet très lointain) vers $+ \infty$ +∞ quand $x$ x s'approche de $- 10$ -10 : plus l'objet approche du foyer, plus l'image s'éloigne et grandit. C'est le principe du projecteur de diapositives.
4. Conclusion
2 min
L'image d'une lentille convergente est donnée par une fonction homographique de la position de l'objet : réelle et renversée au-delà du foyer, rejetée à l'infini au foyer, virtuelle et agrandie en deçà. L'asymptote verticale explique le changement brutal. J'ouvre sur l'œil, dont le cristallin modifie sa distance focale pour garder l'image sur la rétine.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

\frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}} ⟺ \overline{O A^{'}} = \frac{f ^{'} O A}{f ^{'} + O A}, γ = \frac{O A ^{'}}{O A} 1/OA'̅-1/OA̅=1/f'iffOA'̅=(f' OA̅)/(f'+OA̅), γ=OA'̅/OA̅ f^{'} = 10 : - 30 \mapsto 15 (γ = - 0, 5), - 15 \mapsto 30 (γ = - 2), - 5 \mapsto - 10 (γ = 2) f'=10: -30\mapsto15 (γ=-0,5), -15\mapsto30 (γ=-2), -5\mapsto-10 (γ=2) x \to - 1 0^{-} lim g (x) = + \infty x \to - \infty lim g (x) = f^{'} lim_x\to-10⁻g(x)=+\infty lim_x\to-inftyg(x)=f'

Conclusion : la réponse à la question

La position de l'image est une fonction homographique de celle de l'objet, avec une asymptote au foyer objet. Selon le côté du foyer où se trouve l'objet, l'image est réelle et renversée ou virtuelle et agrandie : une seule formule décrit l'appareil photo, le projecteur et la loupe.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi OA est-il négatif ?

On oriente l'axe dans le sens de la lumière : l'objet réel est avant la lentille, donc à gauche de O.

Où placer l'objet pour une image de même taille ?

$γ = - 1$ γ=-1 : $\overline{O A} = - 2 f^{'}$ OA̅=-2f' et $\overline{O A^{'}} = 2 f^{'}$ OA'̅=2f'.

Calculez la dérivée de g.

$g^{'} (x) = \frac{10 ( 10 + x ) - 10 x}{( 10 + x ) ^{2}} = \frac{100}{( 10 + x ) ^{2}} > 0$ g'(x)=(10(10+x)-10x)/((10+x)²)=100/((10+x)²)>0 : $g$ g est croissante sur chaque intervalle de définition (dans les mesures algébriques).

Comment trouver l'image graphiquement ?

Avec deux rayons : celui qui passe par O (non dévié) et celui parallèle à l'axe, qui ressort par le foyer image.

Qu'est-ce qu'une image virtuelle ?

Une image qu'on ne peut pas recueillir sur un écran : les rayons semblent provenir d'elle sans y passer réellement.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier les signes des mesures algébriques.
Placer l'objet au foyer et chercher une image à distance finie.
Confondre image réelle et image virtuelle.

Revoir les notions

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