Question transversaleMathsPhysique-chimieOptique

Pourquoi la lumière reste-t-elle piégée dans une fibre optique ?

La loi de Snell-Descartes n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂ n'a pas de solution quand n₁ sin i₁ > n₂ : au-delà de l'angle limite (41,8° pour le verre dans l'air, 48,8° pour l'eau), toute la lumière est réfléchie.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En plongée dans une piscine, j'ai remarqué qu'en regardant la surface de biais, je ne voyais plus l'extérieur mais un miroir reflétant le fond. Le même phénomène fait circuler la lumière dans les fibres optiques de notre connexion internet. J'ai voulu comprendre pourquoi, au-delà d'un certain angle, la lumière ne peut plus sortir : c'est une équation trigonométrique sans solution.

L'enjeu et les notions du programme

Exploiter les propriétés de la fonction sinus (bornée par 1, croissante sur [0 ; π/2]) pour expliquer la réflexion totale.

Mathématiques

Fonction sinus, valeurs, sens de variation sur [0 ; π/2] (première, terminale)
Équations du type $sin x = k$ sin x=k (première)

Physique-chimie

Réfraction, loi de Snell-Descartes, indice de réfraction (seconde)
Réflexion totale, fibre optique (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un rayon lumineux passe du verre ( $n_{1} = 1, 5$ n₁=1,5) à l'air ( $n_{2} = 1$ n₂=1). Problématique : pourquoi, au-delà d'un certain angle, ne sort-il plus du tout ?
2. Physique : la loi de Snell-Descartes
3 min
À l'interface, le rayon réfracté vérifie $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ n₁sin i₁=n₂sin i₂. En passant vers un milieu moins réfringent, $sin i_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin i_{1} > sin i_{1}$ sin i₂=n₁/n₂sin i₁>sin i₁ : le rayon s'écarte de la normale.
Quand $i_{1}$ i₁ augmente, $i_{2}$ i₂ augmente plus vite et atteint $90°$ 90° : le rayon réfracté rase la surface. Au-delà, il n'y a plus de rayon réfracté ; toute la lumière est réfléchie.
3. Mathématiques : une équation sans solution
4 min
L'équation $sin i_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin i_{1}$ sin i₂=n₁/n₂sin i₁ n'a de solution que si $\frac{n _{1}}{n _{2}} sin i_{1} \leq 1$ n₁/n₂sin i₁≤1, car le sinus est compris entre $- 1$ -1 et $1$ 1. L'angle limite $i_{ℓ}$ i_ℓ vérifie $sin i_{ℓ} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ sin i_ℓ=n₂/n₁.
Verre-air : $sin i_{ℓ} = \frac{1}{1 , 5} = \frac{2}{3}$ sin i_ℓ=1/1,5=2/3, soit $i_{ℓ} \approx 41, 8°$ i_ℓ≈41,8°. Eau-air : $\frac{1}{1 , 33} \approx 0, 75$ 1/1,33≈0,75, soit $i_{ℓ} \approx 48, 8°$ i_ℓ≈48,8°. Pour un indice $2$ sqrt2, $sin i_{ℓ} = \frac{2}{2}$ sin i_ℓ=sqrt2/2 et $i_{ℓ} = 45°$ i_ℓ=45° exactement. Comme $sin$ sin est croissante sur $[0; \frac{π}{2}]$ [0;fracπ2], tout angle supérieur à $i_{ℓ}$ i_ℓ donne une réflexion totale.
Dans une fibre optique, le cœur ( $n_{1} \approx 1, 48$ n₁≈1,48) est entouré d'une gaine d'indice un peu plus faible ( $n_{2} \approx 1, 46$ n₂≈1,46) : $sin i_{ℓ} = \frac{1 , 46}{1 , 48} \approx 0, 986$ sin i_ℓ=1,46/1,48≈0,986, $i_{ℓ} \approx 80, 6°$ i_ℓ≈80,6°. Les rayons presque parallèles à l'axe frappent la gaine sous un angle supérieur et rebondissent sans perte sur des kilomètres.
4. Conclusion
2 min
La lumière reste piégée dans une fibre parce que la loi de Snell-Descartes n'a plus de solution au-delà de l'angle limite : un sinus ne peut pas dépasser 1. Toute la lumière est alors réfléchie. J'ouvre sur les diamants, dont l'indice élevé (2,42) donne un angle limite de 24° qui piège la lumière et les fait briller.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2} \Rightarrow sin i_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin i_{1} \leq 1 n₁sin i₁=n₂sin i₂ \Rightarrow sin i₂=n₁/n₂sin i₁\leq1 sin i_{ℓ} = \frac{n _{2}}{n _{1}} : verre \frac{2}{3} \Rightarrow 41, 8°, eau \frac{1}{1 , 33} \Rightarrow 48, 8°, n = 2 \Rightarrow 45° sin i_ℓ=n₂/n₁: verre 2/3\Rightarrow41,8°, eau 1/1,33\Rightarrow48,8°, n=sqrt2\Rightarrow45° fibre : sin i_{ℓ} = \frac{1 , 46}{1 , 48} \approx 0, 986 \Rightarrow i_{ℓ} \approx 80, 6° fibre : sin i_ℓ=1,46/1,48\approx0,986 \Rightarrow i_ℓ\approx80,6°

Conclusion : la réponse à la question

La réflexion totale se produit quand l'équation de Snell-Descartes n'a plus de solution, au-delà de l'angle limite $arcsin \frac{n _{2}}{n _{1}}$ arcsinn₂/n₁. Elle n'existe que pour un passage vers un milieu moins réfringent, et c'est elle qui guide la lumière dans les fibres optiques.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

La réflexion totale peut-elle se produire de l'air vers l'eau ?

Non : $sin i_{2} = \frac{1}{1 , 33} sin i_{1} < 1$ sin i₂=1/1,33sin i₁<1 a toujours une solution.

Que voit un plongeur qui regarde vers le haut ?

Le ciel dans un cône de demi-angle 48,8° (fenêtre de Snell), et au-delà le reflet du fond de la piscine.

Calculez l'angle limite du diamant.

$sin i_{ℓ} = \frac{1}{2 , 42} \approx 0, 41$ sin i_ℓ=1/2,42≈0,41, $i_{ℓ} \approx 24°$ i_ℓ≈24°.

Pourquoi l'indice de la gaine est-il si proche de celui du cœur ?

Pour limiter la dispersion des temps de parcours entre rayons de trajets différents, qui étalerait les impulsions.

Comment trouver i sachant sin i = 2/3 sans calculatrice ?

On encadre : $sin 40° \approx 0, 64$ sin40°≈0,64 et $sin 45° \approx 0, 71$ sin45°≈0,71, donc $i$ i est un peu au-dessus de 40°.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que la réflexion totale se produit dans les deux sens.
Inverser n₁ et n₂ dans l'angle limite.
Mesurer les angles par rapport à la surface au lieu de la normale.

Revoir les notions

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