Question transversaleMathsPhysique-chimieOptique

Pourquoi la lumière change-t-elle de direction en entrant dans l'eau, comme un maître-nageur qui court avant de nager ?

Le maître-nageur minimise son temps T(x) = √(a² + x²)/v₁ + √(b² + (d − x)²)/v₂ ; la dérivée s'annule quand sin i₁/v₁ = sin i₂/v₂ : c'est exactement la loi de Snell-Descartes, que la lumière « choisit » par le principe de Fermat.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Un maître-nageur sur la plage doit secourir un nageur en difficulté. Doit-il aller en ligne droite ? Non : il court plus vite qu'il ne nage, donc il a intérêt à courir plus longtemps sur le sable. En cherchant le meilleur point d'entrée dans l'eau avec une dérivée, j'ai retrouvé la loi de la réfraction. J'ai voulu comprendre pourquoi la lumière se comporte comme un maître-nageur.

L'enjeu et les notions du programme

Résoudre un problème d'optimisation par la dérivée et en déduire une loi physique : un exemple de principe variationnel.

Mathématiques

Dérivée de $u$ √(u), dérivée d'une somme (première, terminale)
Sens de variation, minimum, théorème des valeurs intermédiaires (terminale)
Trigonométrie dans le triangle rectangle (seconde)

Physique-chimie

Réfraction, loi de Snell-Descartes (seconde)
Indice de réfraction n = c/v (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un maître-nageur est sur la plage à une distance $a$ a de l'eau ; le nageur est à une distance $b$ b du rivage, décalé de $d$ d le long de la plage. Il court à $v_{1}$ v₁ et nage à $v_{2} < v_{1}$ v₂<v₁. Problématique : où doit-il entrer dans l'eau, et quel rapport avec la lumière ?
2. Mathématiques : minimiser le temps
4 min
S'il entre dans l'eau au point d'abscisse $x$ x, son temps est $T (x) = \frac{a ^{2} + x ^{2}}{v _{1}} + \frac{b ^{2} + ( d - x ) ^{2}}{v _{2}}$ T(x)=(√(a²+x²))/v₁+(√(b²+(d-x)²))/v₂, pour $x \in [0; d]$ x∈[0;d].
Avec $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ( √u )'=u'/(2 √u ) : $T^{'} (x) = \frac{x}{v _{1} a ^{2} + x ^{2}} - \frac{d - x}{v _{2} b ^{2} + ( d - x ) ^{2}}$ T'(x)=x/(v₁√(a²+x²))-(d-x)/(v₂√(b²+(d-x)²)). Or $\frac{x}{a ^{2} + x ^{2}} = sin i_{1}$ x/(√(a²+x²))=sin i₁ et $\frac{d - x}{b ^{2} + ( d - x ) ^{2}} = sin i_{2}$ (d-x)/(√(b²+(d-x)²))=sin i₂, où $i_{1}$ i₁ et $i_{2}$ i₂ sont les angles des trajets avec la normale au rivage. Donc $T^{'} (x) = \frac{s i n i _{1}}{v _{1}} - \frac{s i n i _{2}}{v _{2}}$ T'(x)=(sin i₁)/v₁-(sin i₂)/v₂.
$T^{'}$ T' est croissante (le premier terme croît avec $x$ x, le second décroît), négative en 0 et positive en $d$ d : elle s'annule une seule fois, en un minimum de $T$ T, quand $\frac{s i n i _{1}}{v _{1}} = \frac{s i n i _{2}}{v _{2}}$ (sin i₁)/v₁=(sin i₂)/v₂.
3. Physique : la loi de la réfraction
3 min
La lumière va moins vite dans l'eau : $v = \frac{c}{n}$ v=c/n. La condition devient $\frac{s i n i _{1}}{c / n _{1}} = \frac{s i n i _{2}}{c / n _{2}}$ (sin i₁)/(c/n₁)=(sin i₂)/(c/n₂), c'est-à-dire $n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2}$ n₁sin i₁=n₂sin i₂ : la loi de Snell-Descartes.
C'est le principe de Fermat (1657) : la lumière suit le chemin qui rend le temps de parcours minimal (plus exactement stationnaire). En ligne droite, elle passerait trop de temps dans le milieu lent ; elle « préfère » s'incliner davantage dans le milieu rapide. Un rayon passant de l'air à l'eau se rapproche donc de la normale.
4. Conclusion
2 min
La lumière se brise en entrant dans l'eau parce qu'elle suit le trajet le plus rapide, comme le maître-nageur qui court plus longtemps sur le sable : la dérivée du temps de parcours s'annule exactement quand la loi de Snell-Descartes est vérifiée. J'ouvre sur les principes variationnels, qui expriment de nombreuses lois de la physique comme des minimums.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

T (x) = \frac{a ^{2} + x ^{2}}{v _{1}} + \frac{b ^{2} + ( d - x ) ^{2}}{v _{2}} T(x)=(\sqrt(a²+x²))/v₁+(\sqrt(b²+(d-x)²))/v₂ T^{'} (x) = \frac{x}{v _{1} a ^{2} + x ^{2}} - \frac{d - x}{v _{2} b ^{2} + ( d - x ) ^{2}} = \frac{sin i _{1}}{v _{1}} - \frac{sin i _{2}}{v _{2}} T'(x)=x/(v₁\sqrt(a²+x²))-(d-x)/(v₂\sqrt(b²+(d-x)²))=(sin i₁)/v₁-(sin i₂)/v₂ T^{'} (x) = 0 ⟺ \frac{sin i _{1}}{v _{1}} = \frac{sin i _{2}}{v _{2}} ⟺ n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin i_{2} T'(x)=0\Leftrightarrow(sin i₁)/v₁=(sin i₂)/v₂\Leftrightarrow n₁sin i₁=n₂sin i₂

Conclusion : la réponse à la question

Le trajet le plus rapide entre deux milieux où l'on avance à des vitesses différentes vérifie $\frac{s i n i _{1}}{v _{1}} = \frac{s i n i _{2}}{v _{2}}$ (sin i₁)/v₁=(sin i₂)/v₂ : pour la lumière, c'est la loi de Snell-Descartes. Une dérivée transforme un problème de plage en loi de l'optique.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi le maître-nageur ne va-t-il pas en ligne droite ?

La ligne droite minimise la distance, pas le temps : il vaut mieux allonger le trajet sur le sable, où l'on va plus vite.

Que devient la condition si v₁ = v₂ ?

$sin i_{1} = sin i_{2}$ sin i₁=sin i₂ : le trajet est rectiligne, comme la lumière dans un milieu homogène.

Justifiez que T'(0) < 0.

$T^{'} (0) = - \frac{d}{v _{2} b ^{2} + d ^{2}} < 0$ T'(0)=-d/(v₂√(b²+d²))<0 : partir tout droit vers l'eau n'est pas optimal.

Que signifie « chemin stationnaire » ?

Un chemin où la dérivée du temps s'annule : c'est souvent un minimum, mais pas toujours (miroirs courbes).

Le maître-nageur résout-il vraiment l'équation ?

Non, il estime ; une étude célèbre a même suggéré qu'un chien qui va chercher une balle dans l'eau choisit un point proche de l'optimum.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre minimiser la distance et minimiser le temps.
Mesurer les angles par rapport au rivage et non à la normale.
Oublier la dérivée de l'intérieur dans √(b² + (d − x)²).

Revoir les notions

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