Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Pourquoi l'incertitude de lecture d'une graduation vaut-elle demi-graduation divisée par √3 ?

Q: Quelle incertitude pour un chronomètre affichant le centième de seconde ?

$a=0,005$ s : $u=0,005/sqrt3≈0,003$ s ; mais le temps de réaction humain, d'environ 0,1 s, domine largement.

Q: Comment combiner avec une incertitude de type A ?

Par la somme des variances : $u=√(u_A²+u_B²)$.

Q: Pour une pipette jaugée marquée ± 0,05 mL, quelle incertitude-type ?

La tolérance est une erreur maximale : $u=0,05/sqrt3≈0,03$ mL.

Si la valeur vraie est également répartie sur un intervalle de demi-largeur a, sa variance vaut (1/2a)∫₋ₐ^a x² dx = a²/3 : l'incertitude-type est a/√3. Pour une règle graduée au millimètre (a = 0,5 mm), u ≈ 0,29 mm.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, quand on lit une règle graduée au millimètre, on donne une incertitude-type de $\frac{0 , 5}{3}$ 0,5/sqrt3 mm. Cette racine de 3 m'a intrigué : pourquoi pas simplement 0,5 mm ? J'ai découvert qu'elle vient du calcul de la variance d'une valeur répartie uniformément sur un intervalle, une intégrale toute simple.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la variance d'une loi uniforme par une intégrale et l'utiliser comme incertitude de type B.

Mathématiques

Intégrale, primitive de x² (terminale)
Variance comme moyenne des carrés des écarts (seconde, terminale)
Valeur moyenne d'une fonction (terminale)

Physique-chimie

Incertitude-type, évaluation de type B (terminale)
Lecture d'un instrument gradué (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On lit une longueur sur une règle graduée au millimètre : on lit $12$ 12 mm, mais la vraie valeur peut être n'importe où entre $11, 5$ 11,5 et $12, 5$ 12,5 mm. Problématique : quelle incertitude-type associer à cette lecture ?
2. Physique : l'évaluation de type B
3 min
On ne peut pas répéter la lecture pour calculer un écart type (elle donnerait toujours 12 mm) : on raisonne sur l'instrument. Sans autre information, on suppose l'erreur $x$ x également répartie entre $- a$ -a et $a$ a, avec $a = 0, 5$ a=0,5 mm : c'est une loi uniforme.
L'incertitude-type doit être l'écart type de cette erreur, pour être cohérente avec les incertitudes de type A et se composer avec elles.
3. Mathématiques : variance d'une loi uniforme
4 min
La moyenne de l'erreur est nulle par symétrie. Sa variance est la moyenne de $x^{2}$ x² sur $[- a; a]$ [-a;a], c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction $x \mapsto x^{2}$ x↦ x² : $\frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} x^{2} d x = \frac{1}{2 a} [\frac{x ^{3}}{3}]_{- a}^{a} = \frac{1}{2 a} \times \frac{2 a ^{3}}{3} = \frac{a ^{2}}{3}$ 1/2a∫₋ₐ^(a)x² dx=1/2a[x³/3]₋ₐ^(a)=1/2a×2a³/3=a²/3.
L'écart type vaut donc $\frac{a}{3} \approx 0, 58 a$ a/sqrt3≈0,58a. Pour la règle : $u = \frac{0 , 5}{3} \approx 0, 29$ u=0,5/sqrt3≈0,29 mm.
Pourquoi pas $a$ a ? $a$ a est l'erreur maximale, atteinte rarement ; l'écart type mesure une erreur « typique ». Pourquoi pas $\frac{a}{2}$ a/2, l'erreur moyenne en valeur absolue ? Parce que les incertitudes se composent par les variances, il faut un écart type. Le facteur $\frac{1}{3}$ 1/sqrt3 est entre les deux. Une mesure de longueur fait souvent intervenir deux lectures (début et fin) : $u = 2 \times 0, 29 \approx 0, 41$ u=sqrt2×0,29≈0,41 mm.
4. Conclusion
2 min
L'incertitude-type de lecture d'une graduation vaut $\frac{a}{3}$ a/sqrt3, car c'est l'écart type d'une erreur uniformément répartie sur $[- a; a]$ [-a;a], dont la variance $\frac{a ^{2}}{3}$ a²/3 se calcule par une intégrale. J'ouvre sur les instruments numériques, dont la notice indique une erreur maximale que l'on traite de la même façon.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V = \frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} x^{2} d x = \frac{1}{2 a} [\frac{x ^{3}}{3}]_{- a}^{a} = \frac{a ^{2}}{3} u = \frac{a}{3} V=1/2a\int₋ₐ^(a)x² dx=1/2a[x³/3]₋ₐ^(a)=a²/3 u=a/sqrt3 a = 0, 5 mm : u = \frac{0 , 5}{3} \approx 0, 29 mm deux lectures : 2 \times 0, 29 \approx 0, 41 mm a=0,5 mm : u=0,5/sqrt3\approx0,29 mm deux lectures : sqrt2\times0,29\approx0,41 mm

Conclusion : la réponse à la question

Le facteur $\frac{1}{3}$ 1/sqrt3 vient de la variance d'une loi uniforme, $\frac{a ^{2}}{3}$ a²/3, calculée par une intégrale. Il convertit une erreur maximale en écart type, la seule grandeur qui se compose correctement avec les autres incertitudes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi diviser par 2a dans l'intégrale ?

Pour obtenir une moyenne : la valeur moyenne d'une fonction sur $[- a; a]$ [-a;a] est $\frac{1}{2 a} \int_{- a}^{a} f$ 1/2a∫₋ₐ^(a)f.

Quelle incertitude pour un chronomètre affichant le centième de seconde ?

$a = 0, 005$ a=0,005 s : $u = \frac{0 , 005}{3} \approx 0, 003$ u=0,005/sqrt3≈0,003 s ; mais le temps de réaction humain, d'environ 0,1 s, domine largement.

Pourquoi supposer une loi uniforme ?

Faute d'information, aucune position dans l'intervalle n'est privilégiée ; c'est l'hypothèse la plus neutre.

Que vaut ∫ x² dx entre −1 et 1 ?

$\frac{2}{3}$ 2/3.

Comment combiner avec une incertitude de type A ?

Par la somme des variances : $u = u_{A}^{2} + u_{B}^{2}$ u=√(u_A²+u_B²).

Pour une pipette jaugée marquée ± 0,05 mL, quelle incertitude-type ?

La tolérance est une erreur maximale : $u = \frac{0 , 05}{3} \approx 0, 03$ u=0,05/sqrt3≈0,03 mL.

Les pièges qui coûtent des points

Prendre la demi-graduation comme incertitude-type.
Oublier qu'une longueur se lit en deux points.
Confondre erreur maximale et écart type.

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