Question transversaleMathsPhysique-chimieÉnergie et travail

Pourquoi une éolienne ne peut-elle pas récupérer plus de 59 % de l'énergie du vent ?

Q: Développez f'(a) pour vérifier la factorisation.

$f(a)=4a-8a²+4a³$, $f'(a)=4-16a+12a²=4(3a²-4a+1)=4(1-a)(1-3a)$.

Q: Pourquoi la puissance est-elle proportionnelle à v³ ?

L'énergie cinétique par kilogramme est en $v²$ et la masse d'air qui passe par seconde est proportionnelle à $v$.

Q: Que devient la puissance si le vent passe de 10 à 12 m/s ?

$1,2³≈1,73$ : 73 % de plus.

Q: Quelle surface pour une puissance du vent doublée ?

Doubler $S$, donc multiplier le rayon des pales par $sqrt2≈1,41$.

La puissance du vent à travers une surface S vaut ½ρSv³ ; si l'éolienne ralentit le vent d'un facteur a, elle en capte la fraction 4a(1 − a)², maximale pour a = 1/3 : 16/27 ≈ 59 %, la limite de Betz.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En voyant des éoliennes tourner lentement, je me suis demandé pourquoi elles n'ont pas plus de pales pour récupérer davantage de vent. J'ai découvert qu'aucune éolienne ne peut capter plus de 59 % de l'énergie du vent, quelle que soit sa forme. Ce nombre vient du maximum d'une fonction polynôme, que l'on trouve avec une dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser la puissance extraite par une fonction polynôme de degré 3 et en chercher le maximum sur un intervalle.

Mathématiques

Fonctions polynômes de degré 3, dérivée (première)
Étude de variations, maximum sur un intervalle (première)
Factorisation (seconde, première)

Physique-chimie

Énergie cinétique, puissance (première)
Débit d'un fluide, conservation de la masse (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une éolienne de surface balayée $S$ S reçoit un vent de vitesse $v$ v. Problématique : quelle part de l'énergie du vent peut-elle au maximum récupérer ?
2. Physique : la puissance du vent
3 min
En une seconde, une masse d'air $ρS v$ ρ Sv traverse la surface, avec l'énergie cinétique $\frac{1}{2} (ρS v) v^{2}$ 1/2(ρ Sv)v². La puissance du vent est $P_{vent} = \frac{1}{2} ρS v^{3}$ P_ vent =1/2ρ Sv³ : pour des pales de 50 m ( $S \approx 7850$ S≈7 850 m²) et un vent de 10 m/s, environ $4, 7$ 4,7 MW.
Mais l'éolienne ne peut pas arrêter complètement l'air : il s'accumulerait derrière elle. Elle le ralentit seulement. Si l'on note $a$ a la fraction de ralentissement au niveau des pales, la théorie (Betz, 1919) montre que la puissance extraite vaut $P = P_{vent} \times 4 a (1 - a)^{2}$ P=P_ vent ×4a(1-a)².
3. Mathématiques : le maximum
4 min
On étudie $f (a) = 4 a (1 - a)^{2}$ f(a)=4a(1-a)² sur $[0; 1]$ [0;1]. $f^{'} (a) = 4 (1 - a)^{2} - 8 a (1 - a) = 4 (1 - a) (1 - 3 a)$ f'(a)=4(1-a)²-8a(1-a)=4(1-a)(1-3a). Sur $[0; 1]$ [0;1], $1 - a \geq 0$ 1-a≥0 : $f^{'}$ f' a le signe de $1 - 3 a$ 1-3a. $f$ f croît sur $[0; \frac{1}{3}]$ [0;1/3] et décroît ensuite.
Le maximum vaut $f (\frac{1}{3}) = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{4}{9} = \frac{16}{27} \approx 0, 593$ f(1/3)=4×1/3×4/9=16/27≈0,593. Aucune éolienne ne peut récupérer plus de 59,3 % de la puissance du vent. Aux extrêmes, $f (0) = 0$ f(0)=0 (l'éolienne ne freine pas le vent, elle ne récupère rien) et $f (1) = 0$ f(1)=0 (elle l'arrêterait, plus d'air ne passerait).
Pour notre éolienne : au plus $\frac{16}{27} \times 4, 7 \approx 2, 8$ 16/27×4,7≈2,8 MW. Les éoliennes modernes atteignent 45 à 50 %. La puissance variant comme $v^{3}$ v³, un vent de 5 m/s ne donne que le huitième : c'est pourquoi on les installe là où le vent est fort et régulier.
4. Conclusion
2 min
Une éolienne ne peut pas récupérer plus de $\frac{16}{27} \approx 59$ 16/27≈59 % de l'énergie du vent, maximum de la fonction $4 a (1 - a)^{2}$ 4a(1-a)² : freiner trop peu ne récupère rien, freiner trop bloque l'air. J'ouvre sur le choix de trois pales : un compromis entre rendement, stabilité et coût, qui ne change pas cette limite.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

P_{vent} = \frac{1}{2} ρS v^{3} P = P_{vent} \times 4 a (1 - a)^{2} P_ vent =1/2ρ Sv³ P=P_ vent \times4a(1-a)² f^{'} (a) = 4 (1 - a) (1 - 3 a) \Rightarrow f_{max} = f (\frac{1}{3}) = \frac{16}{27} \approx 0, 593 f'(a)=4(1-a)(1-3a) \Rightarrow f_ max =f(1/3)=16/27\approx0,593 S = π \times 5 0^{2} \approx 7850 m^{2}, v = 10 m/s : P_{vent} \approx 4, 7 MW, P_{max} \approx 2, 8 MW S=π\times50²\approx7 850 m ², v=10 m/s : P_ vent \approx4,7 MW , P_ max \approx2,8 MW

Conclusion : la réponse à la question

La limite de Betz, $\frac{16}{27} \approx 59$ 16/27≈59 %, est le maximum de $4 a (1 - a)^{2}$ 4a(1-a)² : une éolienne doit ralentir le vent sans l'arrêter, et le meilleur compromis est de le ralentir d'un tiers au niveau des pales. La puissance du vent, en $v^{3}$ v³, explique l'importance des sites venteux.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Développez f'(a) pour vérifier la factorisation.

$f (a) = 4 a - 8 a^{2} + 4 a^{3}$ f(a)=4a-8a²+4a³, $f^{'} (a) = 4 - 16 a + 12 a^{2} = 4 (3 a^{2} - 4 a + 1) = 4 (1 - a) (1 - 3 a)$ f'(a)=4-16a+12a²=4(3a²-4a+1)=4(1-a)(1-3a).

Pourquoi la puissance est-elle proportionnelle à v³ ?

L'énergie cinétique par kilogramme est en $v^{2}$ v² et la masse d'air qui passe par seconde est proportionnelle à $v$ v.

Que devient la puissance si le vent passe de 10 à 12 m/s ?

$1, 2^{3} \approx 1, 73$ 1,2³≈1,73 : 73 % de plus.

Pourquoi l'air ne peut-il pas être arrêté ?

L'air qui arrive doit s'écouler : s'il était arrêté derrière les pales, il bloquerait le passage de l'air suivant (conservation de la masse).

Quelle surface pour une puissance du vent doublée ?

Doubler $S$ S, donc multiplier le rayon des pales par $2 \approx 1, 41$ sqrt2≈1,41.

Les pièges qui coûtent des points

Croire qu'une éolienne parfaite récupère 100 % de l'énergie du vent.
Écrire la puissance en v² au lieu de v³.
Oublier d'étudier le signe de la dérivée sur [0 ; 1].

Revoir les notions

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