Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Comment vérifier qu'une décharge est exponentielle et mesurer son temps caractéristique ?

Q: Que vaut l'ordonnée à l'origine de la droite ?

$ln U$ : on en déduit la tension initiale, $e^(2,48)≈12$ V.

Q: Pourquoi les rapports de tension sont-ils constants sur des durées égales ?

$(u(t+h))/u(t)=e^(-h/τ)$ ne dépend pas de $t$ : c'est la signature d'une exponentielle (suite géométrique si on échantillonne régulièrement).

Q: Peut-on prendre ln d'une tension en volts ?

Rigoureusement, on prend $lnu/(1 V)$ : le logarithme s'applique à un nombre sans dimension ; la pente n'en dépend pas.

Q: Comment trouver τ = RC si R = 20 kΩ ?

$C=fracτ R=2/2×10⁴=10⁻⁴$ F, soit 100 µF.

Si u = U e^(−t/τ), alors ln u = ln U − t/τ : les points (t ; ln u) sont alignés, et le coefficient directeur −1/τ donne τ avec toutes les mesures à la fois, mieux qu'une lecture à 37 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, nous devions mesurer le temps caractéristique d'une décharge. Avec la méthode de la tangente, chaque groupe trouvait une valeur différente. Le professeur nous a montré qu'en traçant le logarithme de la tension, les points s'alignaient. J'ai voulu comprendre pourquoi le logarithme « redresse » une exponentielle et pourquoi cette méthode est plus fiable.

L'enjeu et les notions du programme

Utiliser le logarithme pour transformer une relation exponentielle en relation affine, et exploiter une droite d'ajustement.

Mathématiques

Logarithme : $ln (ab) = ln a + ln b$ ln(ab)=ln a+ln b, $ln e^{x} = x$ ln e^(x)=x (terminale)
Fonctions affines, coefficient directeur (seconde)
Ajustement affine d'un nuage de points (seconde, première)

Physique-chimie

Décharge d'un condensateur, τ = RC (terminale)
Exploitation de mesures, modélisation, incertitudes (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
On enregistre la tension d'un condensateur qui se décharge. Problématique : comment s'assurer que la loi est bien exponentielle, et comment en tirer $τ$ τ le plus précisément possible ?
2. Les méthodes graphiques classiques
2,5 min
Le modèle prévoit $u (t) = U e^{- t / τ}$ u(t)=Ue^(-t/τ). On peut lire $τ$ τ comme l'instant où $u = 0, 37 U$ u=0,37U (car $e^{- 1} \approx 0, 37$ e⁻¹≈0,37), ou comme l'abscisse où la tangente à l'origine coupe l'axe des temps. Ces méthodes n'utilisent qu'un ou deux points et une construction à main levée : l'incertitude est grande.
Surtout, elles ne testent pas le modèle : une courbe décroissante quelconque ressemble à une exponentielle.
3. La linéarisation
4,5 min
En prenant le logarithme : $ln u = ln U + ln e^{- t / τ} = ln U - \frac{t}{τ}$ ln u=ln U+ln e^(-t/τ)=ln U-frac tτ. La fonction $t \mapsto ln u (t)$ t↦ln u(t) est affine, de coefficient directeur $- \frac{1}{τ}$ -frac1τ.
Exemple : $U = 12$ U=12 V, $τ = 2$ τ=2 s. Mesures : $u (0) = 12$ u(0)=12, $u (1) \approx 7, 28$ u(1)≈7,28, $u (2) \approx 4, 41$ u(2)≈4,41, $u (4) \approx 1, 62$ u(4)≈1,62. Logarithmes : $2, 48$ 2,48, $1, 98$ 1,98, $1, 48$ 1,48, $0, 48$ 0,48. Ils baissent de $0, 5$ 0,5 par seconde : pente $- 0, 5$ -0,5, donc $τ = 2$ τ=2 s.
Si les points sont alignés, le modèle exponentiel est validé ; sinon, il est rejeté. La droite d'ajustement utilise toutes les mesures, ce qui compense les erreurs individuelles. On peut aussi vérifier « à la main » : pour une exponentielle, des intervalles de temps égaux donnent des rapports de tension égaux ( $\frac{7 , 28}{12} \approx \frac{4 , 41}{7 , 28} \approx 0, 61$ 7,28/12≈4,41/7,28≈0,61).
4. Conclusion
2 min
Pour vérifier qu'une décharge est exponentielle et mesurer $τ$ τ, on trace $ln u$ ln u en fonction de $t$ t : une droite valide le modèle et sa pente vaut $- \frac{1}{τ}$ -frac1τ. Le logarithme transforme une courbe en droite. J'ouvre sur les papiers « semi-logarithmiques » des ingénieurs d'autrefois, qui faisaient ce travail sans calcul.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

u=U e^(-t/τ)⇔ln u=ln U-t/τt: 0, 1, 2, 4 s ln u: 2,48; 1,98; 1,48; 0,48pente =-0,5 s ⁻¹=-frac1τ ⇒ τ=2 s

Conclusion : la réponse à la question

Le logarithme transforme la loi exponentielle de décharge en une loi affine : l'alignement des points $(t; ln u)$ (t;ln u) valide le modèle, et la pente donne $τ$ τ en utilisant toutes les mesures. C'est plus fiable que la lecture d'un seul point.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Que vaut l'ordonnée à l'origine de la droite ?

$ln U$ ln U : on en déduit la tension initiale, $e^{2, 48} \approx 12$ e^(2,48)≈12 V.

Pourquoi les rapports de tension sont-ils constants sur des durées égales ?

$\frac{u ( t + h )}{u ( t )} = e^{- h / τ}$ (u(t+h))/u(t)=e^(-h/τ) ne dépend pas de $t$ t : c'est la signature d'une exponentielle (suite géométrique si on échantillonne régulièrement).

Peut-on prendre ln d'une tension en volts ?

Rigoureusement, on prend $ln \frac{u}{1 V}$ lnu/(1 V) : le logarithme s'applique à un nombre sans dimension ; la pente n'en dépend pas.

Que se passe-t-il pour les dernières mesures, très petites ?

Leur logarithme est très sensible au bruit : une erreur de 0,05 V sur 0,1 V fait varier ln u de 0,4. On leur accorde moins de poids.

Comment trouver τ = RC si R = 20 kΩ ?

$C = \frac{τ}{R} = \frac{2}{2 \times 1 0 ^{4}} = 1 0^{- 4}$ C=fracτ R=2/2×10⁴=10⁻⁴ F, soit 100 µF.

Les pièges qui coûtent des points

Tracer ln u en fonction de ln t.
Oublier le signe moins de la pente.
Conclure qu'une courbe décroissante est exponentielle sans test.

Revoir les notions

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