Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Comment localise-t-on l'épicentre d'un séisme avec trois sismographes ?

Q: Comment trouve-t-on l'heure du séisme ?

Une fois $d$ connue, l'heure d'arrivée des ondes P moins $d/v_P$ : 28 s avant pour 168 km.

Les ondes P (6 km/s) arrivent avant les ondes S (3,5 km/s) : un retard de 20 s place l'épicentre à 168 km ; trois stations donnent trois cercles, et la soustraction de leurs équations ramène le problème à un système linéaire.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Après un tremblement de terre, les sismologues annoncent en quelques minutes la position de l'épicentre. Je me suis demandé comment ils faisaient sans être sur place. J'ai découvert qu'il suffit de mesurer, dans plusieurs stations, l'écart entre l'arrivée de deux types d'ondes : la physique donne des distances, la géométrie repérée donne le point.

L'enjeu et les notions du programme

Exploiter la différence de célérité de deux ondes pour mesurer une distance, puis résoudre un problème d'intersection de cercles par la géométrie analytique.

Mathématiques

Équation cartésienne d'un cercle (première)
Systèmes linéaires de deux équations (seconde)
Équations du premier degré, fractions (seconde)

Physique-chimie

Ondes mécaniques progressives, célérité, retard (première)
Ondes sismiques P et S (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un séisme émet des ondes de compression (P) et de cisaillement (S), qui se propagent à des vitesses différentes. Problématique : comment en déduire la distance de l'épicentre, puis sa position ?
2. Physique : une distance à partir d'un retard
3 min
Dans la croûte, $v_{P} \approx 6$ v_P≈6 km/s et $v_{S} \approx 3, 5$ v_S≈3,5 km/s. Une station à la distance $d$ d reçoit les ondes P à $\frac{d}{v _{P}}$ d/v_P et les ondes S à $\frac{d}{v _{S}}$ d/v_S après le séisme. Le retard mesuré vaut $Δ t = \frac{d}{v _{S}} - \frac{d}{v _{P}} = d \frac{v _{P} - v _{S}}{v _{P} v _{S}}$ Δ t=d/v_S-d/v_P=d (v_P-v_S)/v_Pv_S.
Donc $d = Δ t \frac{v _{P} v _{S}}{v _{P} - v _{S}}$ d=Δ t v_Pv_S/(v_P-v_S). Pour $Δ t = 20$ Δ t=20 s : $d = 20 \times \frac{21}{2 , 5} = 168$ d=20×21/2,5=168 km. Pas besoin de connaître l'heure du séisme : c'est l'écart entre les deux arrivées qui compte, d'où la règle approchée « 8 km par seconde de retard ».
3. Mathématiques : intersection de trois cercles
4 min
Une station donne un cercle de centre la station et de rayon $d$ d. Deux cercles se coupent en général en deux points ; le troisième lève l'ambiguïté.
Dans un repère (en km), stations $A (0; 0)$ A(0;0), $B (100; 0)$ B(100;0), $C (0; 100)$ C(0;100), distances mesurées $d_{A} = 50$ d_A=50, $d_{B}^{2} = 6500$ d_B²=6 500, $d_{C}^{2} = 4500$ d_C²=4 500. Les équations sont $x^{2} + y^{2} = 2500$ x²+y²=2 500, $(x - 100)^{2} + y^{2} = 6500$ (x-100)²+y²=6 500, $x^{2} + (y - 100)^{2} = 4500$ x²+(y-100)²=4 500. En soustrayant la première à la deuxième : $- 200 x + 10000 = 4000$ -200x+10 000=4 000, soit $x = 30$ x=30. À la troisième : $- 200 y + 10000 = 2000$ -200y+10 000=2 000, soit $y = 40$ y=40.
La soustraction élimine les carrés : un problème non linéaire devient un système linéaire. On vérifie dans la première équation : $3 0^{2} + 4 0^{2} = 900 + 1600 = 2500$ 30²+40²=900+1 600=2 500. Avec des mesures réelles, imprécises, les cercles ne se coupent pas exactement en un point : on cherche alors le point qui s'accorde au mieux avec toutes les stations.
4. Conclusion
2 min
On localise l'épicentre en convertissant le retard des ondes S sur les ondes P en distance, puis en coupant trois cercles. La différence de leurs équations donne un système linéaire. Avec plus de stations, on ajuste la position au mieux, ce qui donne aussi une incertitude. J'ouvre sur le GPS, qui localise un récepteur par le même principe avec des sphères.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Δ t = \frac{d}{v _{S}} - \frac{d}{v _{P}} \Rightarrow d = Δ t \frac{v _{P} v _{S}}{v _{P} - v _{S}} = 20 \times \frac{6 \times 3 , 5}{2 , 5} = 168 km Δ t=d/v_S-d/v_P \Rightarrow d=Δ t v_Pv_S/(v_P-v_S)=20\times6\times3,5/2,5=168 km x^{2} + y^{2} = d_{A}^{2}, (x - 100)^{2} + y^{2} = d_{B}^{2} \Rightarrow - 200 x + 10000 = d_{B}^{2} - d_{A}^{2} x²+y²=d_A², (x-100)²+y²=d_B² \Rightarrow -200x+10 000=d_B²-d_A²

Conclusion : la réponse à la question

L'écart d'arrivée entre ondes P et S donne la distance de chaque station à l'épicentre ; trois cercles se coupent en un point, que la soustraction des équations ramène à un système linéaire. Les mesures étant imparfaites, on ajuste ensuite la position au mieux.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi deux stations ne suffisent-elles pas ?

Deux cercles se coupent en général en deux points symétriques par rapport à la droite des centres : la troisième station choisit le bon.

Quelle distance pour un retard de 5 s ?

$5 \times 8, 4 = 42$ 5×8,4=42 km.

Pourquoi les ondes S ne traversent-elles pas le noyau externe ?

Ce sont des ondes de cisaillement, qui ne se propagent pas dans un liquide : c'est ainsi qu'on a montré que le noyau externe est liquide.

Que représente géométriquement la différence de deux équations de cercles ?

Une droite, perpendiculaire à la droite des centres, qui passe par les points d'intersection des deux cercles.

Comment trouve-t-on l'heure du séisme ?

Une fois $d$ d connue, l'heure d'arrivée des ondes P moins $\frac{d}{v _{P}}$ d/v_P : 28 s avant pour 168 km.

Les pièges qui coûtent des points

Utiliser une seule vitesse et l'heure d'arrivée sans connaître l'heure du séisme.
Oublier que deux cercles ont deux points d'intersection.
Développer (x − 100)² en x² − 100² .

Revoir les notions

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