Question transversaleMathsPhysique-chimieMesure et incertitudes

Pourquoi chronomètre-t-on dix oscillations d'un pendule plutôt qu'une seule ?

Q: Justifiez le facteur 2 devant u(T)/T.

$T=T₀(1+ε)$ donne $T⁻²=T₀⁻²(1+ε)⁻²≈ T₀⁻²(1-2ε)$.

Q: Pourquoi les petites oscillations ?

La formule $T=2π√(L/g)$ suppose $sinθ≈θ$ ; pour de grands angles, la période augmente.

Q: Quelle longueur choisir pour une période de 1 s ?

$L=gT²/4π²≈9,81/39,5≈0,25$ m.

Q: Calculez 4π² approximativement.

$π²≈9,87$, donc $4π²≈39,5$.

Q: Que donnerait une erreur de 1 cm sur la longueur ?

$u(L)/L=1$ % : comparable à la contribution de la période, il faudrait alors aussi soigner la mesure de $L$ (du point d'attache au centre de la masse).

Avec g = 4π²L/T², l'incertitude relative sur g vaut √((u_L/L)² + (2u_T/T)²) : la période compte double. Chronométrer 10 périodes divise u_T par 10 et fait passer l'incertitude sur g de 2,0 m/s² à 0,2 m/s².

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En TP, pour mesurer $g$ g avec un pendule, le professeur nous a demandé de chronométrer dix oscillations et de diviser par dix. Je me suis demandé si c'était vraiment utile. En calculant l'incertitude sur $g$ g, j'ai découvert que la période intervient au carré, ce qui double son incertitude relative, et que cette astuce simple la divise par dix.

L'enjeu et les notions du programme

Propager des incertitudes relatives à travers une formule avec un carré, et concevoir un protocole qui réduit l'incertitude dominante.

Mathématiques

Approximation $(1 + ε)^{- 2} \approx 1 - 2 ε$ (1+ε)⁻²≈1-2ε (première)
Composition quadratique des écarts (terminale)
Calcul littéral, isoler une variable (seconde)

Physique-chimie

Période d'un pendule simple $T = 2 π L / g$ T=2π√(L/g) (terminale, petites oscillations)
Incertitudes composées, protocole de mesure (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Pour un pendule de longueur $L$ L en petites oscillations, $T = 2 π \frac{L}{g}$ T=2π√(L/g), d'où $g = \frac{4 π ^{2} L}{T ^{2}}$ g=4π²L/T². On mesure $L = 1, 000 \pm 0, 002$ L=1,000±0,002 m et l'on chronomètre à la main, avec une incertitude d'environ $0, 2$ 0,2 s. Problématique : comment obtenir une valeur précise de $g$ g ?
2. Mathématiques : propager l'incertitude
3,5 min
$g$ g est un produit de $L$ L et de $T^{- 2}$ T⁻². Les incertitudes relatives se composent quadratiquement, et l'exposant $- 2$ -2 multiplie celle de $T$ T par 2 (car $(1 + ε)^{- 2} \approx 1 - 2 ε$ (1+ε)⁻²≈1-2ε) : $\frac{u ( g )}{g} = (\frac{u ( L )}{L})^{2} + (2 \frac{u ( T )}{T})^{2}$ u(g)/g=√((u(L)/L)²+(2u(T)/T)²).
Une seule période ( $T \approx 2, 0$ T≈2,0 s, $u (T) = 0, 2$ u(T)=0,2 s) : $2 \frac{u ( T )}{T} = 20$ 2u(T)/T=20 %, contre $0, 2$ 0,2 % pour la longueur. L'incertitude sur $g$ g est d'environ 20 %, soit $2$ 2 m/s² : la mesure ne vaut presque rien.
3. Physique : chronométrer dix périodes
3,5 min
L'erreur de chronométrage vient surtout du déclenchement et de l'arrêt, pas de la durée : elle est la même pour 1 ou 10 périodes. On mesure $10 T = 20, 06 \pm 0, 2$ 10T=20,06±0,2 s, donc $T = 2, 006$ T=2,006 s avec $u (T) = 0, 02$ u(T)=0,02 s : l'incertitude relative est divisée par 10.
Alors $2 \frac{u ( T )}{T} \approx 2$ 2u(T)/T≈2 % et $\frac{u ( g )}{g} \approx 0, 2^{2} + 2^{2} % \approx 2$ u(g)/g≈√(0,2²+2²) %≈2 %. On obtient $g = \frac{4 π ^{2} \times 1 , 000}{2 , 00 6 ^{2}} \approx 9, 81 \pm 0, 20$ g=4π²×1,000/2,006²≈9,81±0,20 m/s².
On pourrait chronométrer 50 périodes, mais les oscillations s'amortissent et l'angle diminue : il y a un compromis. La longueur, déjà précise, ne mérite pas d'effort supplémentaire : c'est l'incertitude dominante qu'il faut attaquer.
4. Conclusion
2 min
Chronométrer dix oscillations divise par dix l'incertitude relative sur la période, qui compte double dans $g = \frac{4 π ^{2} L}{T ^{2}}$ g=4π²L/T² : l'incertitude sur $g$ g passe de 20 % à 2 %. La propagation des incertitudes guide la conception du protocole. J'ouvre sur les capteurs photoélectriques, qui mesurent la période à la milliseconde.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

g = \frac{4 π ^{2} L}{T ^{2}} \frac{u ( g )}{g} = (\frac{u ( L )}{L})^{2} + (2 \frac{u ( T )}{T})^{2} g=4π²L/T² u(g)/g=\sqrt((u(L)/L)²+(2 u(T)/T)²) 1 p \overset{e}{ˊ} riode : 2 \times \frac{0 , 2}{2} = 20 % 10 p \overset{e}{ˊ} riodes : 2 \times \frac{0 , 02}{2 , 006} \approx 2 % 1 période : 2\times0,2/2=20 % 10 périodes : 2\times0,02/2,006\approx2 % g = \frac{4 π ^{2} \times 1 , 000}{2 , 00 6 ^{2}} \approx 9, 81 \pm 0, 20 m/s^{2} g=4π²\times1,000/2,006²\approx9,81\pm0,20 m/s ²

Conclusion : la réponse à la question

La période intervient au carré dans $g$ g, ce qui double son incertitude relative ; chronométrer dix périodes la divise par dix, parce que l'erreur humaine porte sur le déclenchement, pas sur la durée. Le calcul des incertitudes indique où porter l'effort.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'erreur de chronométrage ne dépend-elle pas de la durée ?

Elle vient du temps de réaction au départ et à l'arrêt, le même quelle que soit la durée mesurée.

Justifiez le facteur 2 devant u(T)/T.

$T = T_{0} (1 + ε)$ T=T₀(1+ε) donne $T^{- 2} = T_{0}^{- 2} (1 + ε)^{- 2} \approx T_{0}^{- 2} (1 - 2 ε)$ T⁻²=T₀⁻²(1+ε)⁻²≈ T₀⁻²(1-2ε).

Pourquoi les petites oscillations ?

La formule $T = 2 π L / g$ T=2π√(L/g) suppose $sin θ \approx θ$ sinθ≈θ ; pour de grands angles, la période augmente.

Quelle longueur choisir pour une période de 1 s ?

$L = \frac{g T ^{2}}{4 π ^{2}} \approx \frac{9 , 81}{39 , 5} \approx 0, 25$ L=gT²/4π²≈9,81/39,5≈0,25 m.

La masse du pendule intervient-elle ?

Non, dans le modèle du pendule simple la période ne dépend pas de la masse.

Calculez 4π² approximativement.

$π^{2} \approx 9, 87$ π²≈9,87, donc $4 π^{2} \approx 39, 5$ 4π²≈39,5.

Que donnerait une erreur de 1 cm sur la longueur ?

$\frac{u ( L )}{L} = 1$ u(L)/L=1 % : comparable à la contribution de la période, il faudrait alors aussi soigner la mesure de $L$ L (du point d'attache au centre de la masse).

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le facteur 2 dû au carré de la période.
Croire que l'incertitude sur L est déterminante.
Chronométrer trop d'oscillations, jusqu'à ce que l'amplitude change.

Revoir les notions

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