Pourquoi les antennes satellites et les télescopes ont-ils une forme de parabole ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Sur les toits, les antennes satellites ont toutes une forme de bol, avec un petit boîtier placé devant le centre. J'ai appris que ce boîtier est au foyer de la parabole, là où tous les signaux venant du satellite se concentrent. J'ai voulu démontrer cette propriété avec les outils de géométrie repérée : une tangente, un milieu et un produit scalaire suffisent.

L'enjeu et les notions du programme

Démontrer la propriété focale de la parabole par la géométrie repérée (tangente, produit scalaire, médiatrice) et la relier à la loi de la réflexion.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Un satellite est si loin que ses ondes arrivent parallèles à l'axe de l'antenne. Problématique : pourquoi une surface parabolique les concentre-t-elle toutes en un même point ?

2. 2. Le cadre : parabole, foyer et loi de la réflexion

   2,5 min

   Dans un plan de coupe, la parabole a pour équation $y=\frac{x^2}{4f}$y=x²/4f ; on appelle foyer le point $F(0;f)$F(0;f) et directrice la droite $y=-f$y=-f. Propriété clé : tout point $P$P de la parabole est à égale distance de $F$F et de la directrice. En effet, $P{F}^2=x_0^2+{\left(\frac{x_0^2}{4f}-f\right)}^2={\left(\frac{x_0^2}{4f}+f\right)}^2$PF²=x₀²+(x₀²/4f-f)²=(x₀²/4f+f)².

   Loi de la réflexion : un rayon se réfléchit en faisant des angles égaux avec la surface (ou sa tangente) de part et d'autre.

3. 3. Mathématiques : la tangente est une médiatrice

   4,5 min

   Soit $P\left(x_0;\frac{x_0^2}{4f}\right)$P(x₀;x₀²/4f) et $H(x_0;-f)$H(x₀;-f) son projeté sur la directrice. La tangente en $P$P a pour coefficient directeur $\frac{x_0}{2f}$x₀/2f et pour équation $y=\frac{x_0}{2f}(x-x_0)+\frac{x_0^2}{4f}$y=x₀/2f(x-x₀)+x₀²/4f.

   Elle passe par le milieu $\left(\frac{x_0}{2};0\right)$(x₀/2;0) de $[FH]$[FH] : en $x=\frac{x_0}{2}$x=x₀/2, $y=-\frac{x_0^2}{4f}+\frac{x_0^2}{4f}=0$y=-x₀²/4f+x₀²/4f=0. Elle est perpendiculaire à $[FH]$[FH] : avec $\vec{u}\left(1;\frac{x_0}{2f}\right)$vecteur u (1;x₀/2f) et $\overrightarrow{FH}(x_0;-2f)$vecteur FH (x₀;-2f), $\vec{u}\cdot \overrightarrow{FH}=x_0-x_0=0$vecteur u · vecteur FH =x₀-x₀=0. La tangente est donc la médiatrice de $[FH]$[FH].

   Conséquence : la symétrie par rapport à la tangente échange $H$H et $F$F. Le rayon incident vertical, porté par $(HP)$(HP), et le rayon $(PF)$(PF) font donc des angles égaux avec la tangente : le rayon réfléchi passe par $F$F. C'est vrai pour tout point $P$P : tous les rayons parallèles à l'axe convergent au foyer.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Les antennes et les télescopes sont paraboliques parce que la tangente en tout point de la parabole est la médiatrice entre le foyer et la directrice : la loi de la réflexion envoie alors tout rayon parallèle à l'axe vers le foyer. J'ouvre sur les phares de voiture, qui utilisent la propriété à l'envers : une lampe au foyer donne un faisceau parallèle.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Confondre le foyer avec le sommet de la parabole.
• Appliquer la loi de la réflexion par rapport à la courbe sans passer par la tangente.
• Se tromper dans le vecteur directeur de la tangente.

Revoir les notions

• Produit scalaire dans le plan (Première spé maths) →
• Dérivation locale (Première spé maths) →

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