Question transversaleMathsPhysique-chimieOndes et signaux

Comment une même fonction décrit-elle une onde à la fois dans l'espace et dans le temps ?

Q: Deux points distants de λ/2 vibrent-ils de la même façon ?

Non, en opposition de phase : le déphasage vaut $π$, donc $y(x+fracλ2,t)=-y(x,t)$.

Q: Dans quel sens se déplace l'onde t − x/c ?

Vers les $x$ croissants : la valeur prise en $x$ à l'instant $t$ se retrouve en $x+cτ$ à $t+τ$.

Q: Longueur d'onde du Wi-Fi à 2,4 GHz ?

$3×10⁸/2,4×10⁹=0,125$ m.

Une onde sinusoïdale y(x, t) = A cos(2π(t/T − x/λ)) est périodique en t (période T) et en x (période λ), avec λ = cT : c'est ce qui fixe à 75 cm l'antenne quart d'onde d'une radio FM à 100 MHz.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En physique, on m'a dit qu'une onde est « doublement périodique », dans le temps et dans l'espace. Je ne voyais pas comment une seule fonction pouvait l'être deux fois. En comprenant qu'une fonction de deux variables peut être étudiée en fixant l'une d'elles, j'ai vu apparaître la relation $λ = c T$ λ=cT ; elle explique même la taille des antennes de radio.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction de deux variables en fixant l'une puis l'autre, et relier les deux périodes par la célérité de l'onde.

Mathématiques

Fonctions cosinus, périodicité, translation de courbe (première, terminale)
Fonctions de la forme t ↦ A cos(ωt + φ) (terminale)

Physique-chimie

Onde mécanique progressive, célérité, retard (première)
Ondes périodiques : période, longueur d'onde, λ = cT (première)
Ondes électromagnétiques (seconde, terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Le long d'une corde ou dans l'air, une onde sinusoïdale fait vibrer chaque point. Problématique : comment une seule formule rend-elle compte de ce que voit un observateur immobile et d'une photographie de l'onde ?
2. Physique : le retard
3 min
Si la source, en $x = 0$ x=0, vibre selon $y (0, t) = A cos (\frac{2 π t}{T})$ y(0,t)=Acos((2π t)/T), l'onde se propage à la célérité $c$ c : un point d'abscisse $x$ x reproduit le mouvement de la source avec le retard $\frac{x}{c}$ x/c. D'où $y (x, t) = A cos (\frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{c}))$ y(x,t)=Acos(2π/T(t-x/c)).
En posant $λ = c T$ λ=cT, distance parcourue pendant une période : $y (x, t) = A cos (2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}))$ y(x,t)=Acos(2π(t/T-frac xλ)).
3. Mathématiques : deux périodicités
4 min
À $x$ x fixé (un point de la corde), $t \mapsto y (x, t)$ t↦ y(x,t) est une sinusoïde de période $T$ T : $y (x, t + T) = A cos (2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}) + 2 π) = y (x, t)$ y(x,t+T)=Acos(2π(t/T-frac xλ)+2π)=y(x,t). C'est la périodicité temporelle.
À $t$ t fixé (une photographie), $x \mapsto y (x, t)$ x↦ y(x,t) est une sinusoïde de période $λ$ λ : $y (x + λ, t) = y (x, t)$ y(x+λ,t)=y(x,t). C'est la périodicité spatiale. Et $y (x + c τ, t + τ) = y (x, t)$ y(x+cτ,t+τ)=y(x,t) : la courbe se translate à la vitesse $c$ c.
Application : une radio FM émet vers $f = 100$ f=100 MHz. Les ondes électromagnétiques vont à $c = 3 \times 1 0^{8}$ c=3×10⁸ m/s, donc $λ = \frac{c}{f} = 3$ λ=c/f=3 m. Une antenne efficace mesure souvent un quart de longueur d'onde : $75$ 75 cm, la taille d'une antenne télescopique de poste de radio.
4. Conclusion
2 min
Une onde est décrite par une fonction de deux variables : en fixant la position on voit une oscillation de période $T$ T, en fixant le temps une sinusoïde de période $λ$ λ, et les deux sont liées par $λ = c T$ λ=cT. J'ouvre sur les ondes Wi-Fi à $2, 4$ 2,4 GHz, de longueur d'onde $12, 5$ 12,5 cm, d'où les petites antennes de nos box.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

y(x,t)=Acos (2π/T(t-x/c))=Acos (2π(t/T-frac xλ)), λ=cTy(x,t+T)=y(x,t) y(x+λ,t)=y(x,t)λ=c/f=3×10⁸/10⁸=3 m ⇒ fracλ4=75 cm

Conclusion : la réponse à la question

Une même fonction $A cos (2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ}))$ Acos(2π(t/T-frac xλ)) décrit l'onde partout et à chaque instant : périodique en temps de période $T$ T, en espace de période $λ$ λ, avec $λ = c T$ λ=cT. Cette relation dicte la taille des antennes.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Deux points distants de λ/2 vibrent-ils de la même façon ?

Non, en opposition de phase : le déphasage vaut $π$ π, donc $y (x + \frac{λ}{2}, t) = - y (x, t)$ y(x+fracλ2,t)=-y(x,t).

Longueur d'onde d'un son de 340 Hz ?

$λ = \frac{340}{340} = 1$ λ=340/340=1 m.

Dans quel sens se déplace l'onde t − x/c ?

Vers les $x$ x croissants : la valeur prise en $x$ x à l'instant $t$ t se retrouve en $x + c τ$ x+cτ à $t + τ$ t+τ.

La période dépend-elle du milieu ?

Non, elle est imposée par la source ; c'est la longueur d'onde qui change quand la célérité change.

Longueur d'onde du Wi-Fi à 2,4 GHz ?

$\frac{3 \times 1 0 ^{8}}{2 , 4 \times 1 0 ^{9}} = 0, 125$ 3×10⁸/2,4×10⁹=0,125 m.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre période temporelle et longueur d'onde.
Écrire t + x/c pour une onde qui va vers les x croissants.
Oublier de convertir les MHz en Hz.

Revoir les notions

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