Question transversaleMathsPhysique-chimieOptique

Pourquoi l'arc-en-ciel apparaît-il toujours sous un angle d'environ 42° ?

Dans une goutte, la déviation D(i) = 180° + 2i − 4r avec sin i = n sin r passe par un minimum (dérivée nulle pour cos i = √((n² − 1)/3)) ; pour n = 4/3, i ≈ 59,4° et les rayons ressortent concentrés à 180° − 138° = 42°.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai remarqué que l'arc-en-ciel apparaît toujours à l'opposé du Soleil, et que sa taille ne change pas, que l'averse soit proche ou lointaine. On m'a dit que son rayon vaut toujours environ 42°. J'ai voulu comprendre d'où vient ce nombre : il sort du minimum d'une fonction, étudié avec une dérivée.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction définie implicitement, trouver son minimum par la dérivée, et comprendre pourquoi un extremum concentre la lumière.

Mathématiques

Dérivation de fonctions composées (terminale)
Extremum, dérivée nulle (première)
Relation $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ cos²x+sin²x=1 (première)

Physique-chimie

Réfraction, réflexion, loi de Snell-Descartes (seconde)
Dispersion de la lumière, indice dépendant de la couleur (seconde)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un rayon de Soleil entre dans une goutte d'eau sphérique, se réfléchit une fois à l'intérieur et ressort. Problématique : pourquoi la lumière ressort-elle préférentiellement à 42° de la direction opposée au Soleil ?
2. Physique : la déviation dans la goutte
3 min
Le rayon arrive avec un angle d'incidence $i$ i et entre avec un angle de réfraction $r$ r : $sin i = n sin r$ sin i=nsin r, avec $n \approx \frac{4}{3}$ n≈4/3. Il est dévié de $i - r$ i-r en entrant, de $180° - 2 r$ 180°-2r à la réflexion, de $i - r$ i-r en sortant. Déviation totale : $D = 180° + 2 i - 4 r$ D=180°+2i-4r.
Selon l'endroit où le rayon frappe la goutte, $i$ i varie de 0 à 90°. Les rayons ressortent dans des directions différentes, mais ils s'accumulent là où $D$ D varie le moins : à son minimum.
3. Mathématiques : le minimum de déviation
4 min
On dérive $sin i = n sin r$ sin i=nsin r par rapport à $i$ i ( $r$ r dépend de $i$ i) : $cos i = n cos r \cdot r^{'}$ cos i=ncos r· r', donc $r^{'} = \frac{c o s i}{n c o s r}$ r'=(cos i)/(ncos r). Puis $D^{'} (i) = 2 - 4 r^{'}$ D'(i)=2-4r' s'annule pour $r^{'} = \frac{1}{2}$ r'=1/2, soit $2 cos i = n cos r$ 2cos i=ncos r.
En élevant au carré et en utilisant $cos^{2} r = 1 - sin^{2} r = 1 - \frac{s i n ^{2} i}{n ^{2}}$ cos²r=1-sin²r=1-sin²i/n² : $4 cos^{2} i = n^{2} - sin^{2} i = n^{2} - 1 + cos^{2} i$ 4cos²i=n²-sin²i=n²-1+cos²i, d'où $cos^{2} i = \frac{n ^{2} - 1}{3}$ cos²i=(n²-1)/3.
Avec $n = \frac{4}{3}$ n=4/3 : $cos^{2} i = \frac{7}{27}$ cos²i=7/27, $i \approx 59, 4°$ i≈59,4°, $r \approx 40, 2°$ r≈40,2°, et $D_{min} \approx 138°$ D_ min ≈138°. La lumière ressort concentrée à $180° - 138° = 42°$ 180°-138°=42° de la direction anti-solaire. Au minimum, la dérivée est nulle : de nombreux rayons d'incidences voisines sortent presque dans la même direction, d'où une forte intensité.
L'indice dépend de la couleur : $n \approx 1, 331$ n≈1,331 pour le rouge donne $42, 4°$ 42,4°, $n \approx 1, 343$ n≈1,343 pour le violet donne $40, 6°$ 40,6°. Le rouge est à l'extérieur de l'arc.
4. Conclusion
2 min
L'arc-en-ciel est à 42° parce que la déviation de la lumière dans une goutte passe par un minimum, où les rayons se concentrent ; la dérivée donne $cos^{2} i = \frac{n ^{2} - 1}{3}$ cos²i=(n²-1)/3. La dispersion sépare les couleurs. J'ouvre sur l'arc secondaire, vers 51°, dû à deux réflexions dans la goutte, avec les couleurs inversées.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

D (i) = 180° + 2 i - 4 r, sin i = n sin r D(i)=180°+2i-4r, sin i=nsin r r^{'} = \frac{cos i}{n cos r}, D^{'} (i) = 0 ⟺ 2 cos i = n cos r ⟺ cos^{2} i = \frac{n ^{2} - 1}{3} r'=(cos i)/(ncos r), D'(i)=0\Leftrightarrow2cos i=ncos r\Leftrightarrowcos²i=(n²-1)/3 n = \frac{4}{3} : i \approx 59, 4°, r \approx 40, 2°, D_{min} \approx 138° \Rightarrow 180° - 138° = 42° n=4/3: i\approx59,4°, r\approx40,2°, D_ min \approx138° \Rightarrow 180°-138°=42°

Conclusion : la réponse à la question

L'arc-en-ciel apparaît à 42° parce que la déviation des rayons dans les gouttes a un minimum de 138°, où la lumière se concentre. La position de ce minimum, obtenue par une dérivée, dépend de l'indice, donc de la couleur : d'où la séparation des couleurs.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi l'arc est-il un cercle ?

Toutes les gouttes situées à 42° de la direction anti-solaire renvoient la lumière vers l'œil : elles forment un cône centré sur cette direction.

Pourquoi ne voit-on pas d'arc-en-ciel à midi en été ?

Le Soleil est haut : le point anti-solaire est à plus de 42° sous l'horizon, et l'arc entier est caché.

Vérifiez cos² i = 7/27 pour n = 4/3.

$\frac{16/9 - 1}{3} = \frac{7/9}{3} = \frac{7}{27}$ (16/9-1)/3=(7/9)/3=7/27.

Pourquoi un minimum concentre-t-il la lumière ?

Près d'un extremum, la fonction varie très peu : un large intervalle d'incidences donne presque la même déviation.

Deux personnes voient-elles le même arc-en-ciel ?

Non : chacune voit la lumière de gouttes différentes, celles qui sont à 42° de son propre point anti-solaire.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier que r dépend de i en dérivant.
Dire que l'arc est à 138° au lieu de 180° − 138°.
Placer le violet à l'extérieur de l'arc principal.

Revoir les notions

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