Question transversaleMathsPhysique-chimieOptique

Pourquoi une piscine paraît-elle moins profonde qu'elle ne l'est ?

Q: Justifiez tan i ≈ sin i pour i petit.

$tan i=(sin i)/(cos i)$ et $cos i→1$ quand $i→0$.

Vu presque à la verticale, un point du fond semble remonté : l'approximation tan i ≈ sin i ≈ i et la loi de Snell-Descartes donnent une profondeur apparente égale à la profondeur réelle divisée par n, soit 1,5 m au lieu de 2 m.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Enfant, je me suis fait surprendre en sautant dans une piscine qui semblait peu profonde : je ne touchais pas le fond. Plus tard, j'ai appris que l'eau « soulève » le fond en apparence. J'ai voulu calculer de combien, avec la loi de la réfraction et les approximations des petits angles.

L'enjeu et les notions du programme

Combiner la loi de Snell-Descartes, la trigonométrie du triangle rectangle et les approximations des petits angles pour obtenir une loi simple.

Mathématiques

Tangente et sinus dans le triangle rectangle (seconde)
Approximations $sin i \approx i$ sin i≈ i, $tan i \approx i$ tan i≈ i en radians (terminale)
Limites quand un angle tend vers 0 (terminale)

Physique-chimie

Réfraction, loi de Snell-Descartes, indice de l'eau (seconde)
Image virtuelle (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un objet au fond d'une piscine de profondeur réelle $H = 2$ H=2 m est observé depuis le bord, presque à la verticale. Problématique : à quelle profondeur semble-t-il se trouver ?
2. Physique : la réfraction à la surface
3 min
Un rayon issu de l'objet $A$ A sort de l'eau ( $n = 1, 33$ n=1,33) vers l'air en s'écartant de la normale : $n sin i = sin r$ nsin i=sin r, avec $i$ i dans l'eau et $r$ r dans l'air.
L'œil prolonge le rayon en ligne droite : il voit l'objet en $A^{'}$ A', sur la verticale de $A$ A, mais plus haut. C'est une image virtuelle.
3. Mathématiques : triangles et petits angles
4 min
Le rayon sort de l'eau en un point $I$ I à la distance horizontale $x$ x de la verticale de $A$ A. Dans le triangle rectangle réel, $tan i = \frac{x}{H}$ tan i=x/H ; dans le triangle apparent, $tan r = \frac{x}{H ^{'}}$ tan r=x/H'. Donc $\frac{H ^{'}}{H} = \frac{t a n i}{t a n r}$ H'/H=(tan i)/(tan r).
Pour une observation presque verticale, les angles sont petits et, en radians, $tan i \approx sin i \approx i$ tan i≈sin i≈ i. D'où $\frac{H ^{'}}{H} \approx \frac{s i n i}{s i n r} = \frac{1}{n}$ H'/H≈(sin i)/(sin r)=1/n, soit $H^{'} = \frac{H}{n} = \frac{2}{1 , 33} \approx 1, 5$ H'=H/n=2/1,33≈1,5 m. La piscine paraît un quart moins profonde.
Hors de la verticale, l'approximation ne vaut plus : $\frac{t a n i}{t a n r}$ (tan i)/(tan r) diminue quand l'angle augmente, et le fond semble encore plus remonté. C'est pourquoi le fond d'une piscine paraît incliné vers nous quand on le regarde de biais, et qu'un bâton plongé semble brisé.
4. Conclusion
2 min
Une piscine paraît moins profonde parce que les rayons se brisent en sortant de l'eau : vue d'en haut, la profondeur apparente est la profondeur réelle divisée par l'indice, 1,5 m au lieu de 2 m. Les approximations des petits angles transforment une formule trigonométrique en loi simple. J'ouvre sur les pêcheurs au harpon, qui doivent viser sous l'image du poisson.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

n sin i = sin r tan i = \frac{x}{H}, tan r = \frac{x}{H ^{'}} \Rightarrow \frac{H ^{'}}{H} = \frac{tan i}{tan r} nsin i=sin r tan i=x/H, tan r=x/H' \Rightarrow H'/H=(tan i)/(tan r) i, r petits : \frac{tan i}{tan r} \approx \frac{sin i}{sin r} = \frac{1}{n} i,r petits : (tan i)/(tan r)\approx(sin i)/(sin r)=1/n H^{'} = \frac{H}{n} = \frac{2}{1 , 33} \approx 1, 5 m H'=H/n=2/1,33\approx1,5 m

Conclusion : la réponse à la question

Vue presque d'aplomb, une piscine de 2 m semble n'en faire que 1,5 : la profondeur apparente vaut $\frac{H}{n}$ H/n. Le résultat vient de la loi de Snell-Descartes et de l'approximation $tan \approx sin$ tan≈sin pour les petits angles ; de biais, l'effet est encore plus fort.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Justifiez tan i ≈ sin i pour i petit.

$tan i = \frac{s i n i}{c o s i}$ tan i=(sin i)/(cos i) et $cos i \to 1$ cos i→1 quand $i \to 0$ i→0.

Et si l'on regarde un objet hors de l'eau depuis l'intérieur ?

Il paraît plus loin : la hauteur apparente est multipliée par $n$ n.

Pourquoi un bâton semble-t-il brisé ?

Chaque point immergé semble remonté vers la surface : la partie immergée paraît moins inclinée que la partie émergée.

Que vaut la profondeur apparente d'un aquarium de 40 cm ?

$\frac{40}{1 , 33} \approx 30$ 40/1,33≈30 cm.

L'image A' est-elle réelle ?

Non, virtuelle : les rayons ne passent pas par A', ils semblent seulement en provenir.

Les pièges qui coûtent des points

Multiplier par n au lieu de diviser.
Utiliser l'approximation pour une observation très inclinée.
Appliquer Snell-Descartes avec les angles mesurés depuis la surface.

Revoir les notions

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