Les résistances s'additionnent : $R=R₁+R₂$, plus grande que chacune ; c'est le même courant qui traverse les deux.

Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Pourquoi ajouter une résistance en parallèle diminue-t-il la résistance d'un circuit ?

Q: Démontrez R = R₁R₂/(R₁ + R₂).

$1/R₁+1/R₂=(R₁+R₂)/R₁R₂$, puis on prend l'inverse.

Q: Quelle vitesse moyenne pour un aller à 60 km/h et un retour à 30 km/h ?

La moyenne harmonique : $2/(1/60+1/30)=40$ km/h, et non 45.

Q: Pourquoi les appareils de la maison sont-ils en parallèle ?

Chacun reçoit 230 V et fonctionne indépendamment : on peut en éteindre un sans couper les autres.

Q: Quelle résistance a un radiateur de 2 000 W sous 230 V ?

$R=U²/P=(52 900)/(2 000)≈26$ Ω.

En parallèle, les conductances s'additionnent : 1/R = 1/R₁ + 1/R₂, donc R est inférieure à la plus petite des deux ; 6 Ω et 3 Ω en parallèle donnent 2 Ω, et n résistances égales donnent R/n.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Chez moi, quand on allume de plus en plus d'appareils sur une multiprise, le disjoncteur finit par sauter. Je trouvais paradoxal qu'ajouter des appareils, donc des résistances, fasse augmenter le courant. En étudiant les associations de résistances, j'ai compris que les inverses s'additionnent : c'est un petit calcul sur les fonctions inverses qui l'explique.

L'enjeu et les notions du programme

Établir la loi d'association en parallèle à partir des lois de Kirchhoff et l'étudier avec la fonction inverse.

Mathématiques

Fonction inverse, inégalités sur les inverses (seconde)
Calcul fractionnaire (seconde)
Moyenne harmonique (approfondissement)

Physique-chimie

Loi d'Ohm, loi des nœuds, loi des mailles (collège, seconde)
Association de résistances (seconde, première)
Puissance électrique P = UI (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Deux résistances $R_{1}$ R₁ et $R_{2}$ R₂ sont branchées côte à côte sur une même tension $U$ U. Problématique : quelle résistance unique les remplace, et pourquoi est-elle plus petite ?
2. Physique : la loi des nœuds
3 min
Les deux résistances ont la même tension $U$ U. Loi d'Ohm : $I_{1} = \frac{U}{R _{1}}$ I₁=U/R₁ et $I_{2} = \frac{U}{R _{2}}$ I₂=U/R₂. Loi des nœuds : $I = I_{1} + I_{2} = U (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$ I=I₁+I₂=U(1/R₁+1/R₂).
La résistance équivalente vérifie $I = \frac{U}{R}$ I=U/R, donc $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ 1/R=1/R₁+1/R₂. Les conductances $G = \frac{1}{R}$ G=1/R s'additionnent : chaque branche ouvre un chemin supplémentaire au courant, comme une voie de plus sur une autoroute.
3. Mathématiques : propriétés de la formule
4 min
On obtient $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ R=R₁R₂/(R₁+R₂). Comme $\frac{1}{R} > \frac{1}{R _{1}}$ 1/R>1/R₁ et que la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0;+∞[, $R < R_{1}$ R<R₁ ; de même $R < R_{2}$ R<R₂. La résistance équivalente est plus petite que la plus petite des deux.
Exemples : $6$ 6 Ω et $3$ 3 Ω donnent $\frac{18}{9} = 2$ 18/9=2 Ω. Deux résistances égales donnent $\frac{R _{1}}{2}$ R₁/2 ; $n$ n résistances égales, $\frac{R _{1}}{n}$ R₁/n. Si $R_{2}$ R₂ est très grande, $R \approx R_{1}$ R≈ R₁ : la branche presque isolante ne change rien.
Pour la multiprise : chaque appareil ajouté est une résistance en parallèle, donc $R$ R diminue et $I = \frac{U}{R}$ I=U/R augmente. Un radiateur de 2 000 W, un four de 2 500 W et une bouilloire de 2 000 W demandent $\frac{6 500}{230} \approx 28$ (6 500)/230≈28 A : au-delà d'un disjoncteur de 16 A.
4. Conclusion
2 min
Ajouter une résistance en parallèle diminue la résistance totale, parce que ce sont les inverses qui s'additionnent : chaque branche est un chemin de plus. La décroissance de la fonction inverse montre que la résistance équivalente est inférieure à chacune. J'ouvre sur la moyenne harmonique, qui apparaît aussi dans la vitesse moyenne d'un aller-retour.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

I = I_{1} + I_{2} = \frac{U}{R _{1}} + \frac{U}{R _{2}} \Rightarrow \frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}, R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} I=I₁+I₂=U/R₁+U/R₂ \Rightarrow 1/R=1/R₁+1/R₂, R=R₁R₂/(R₁+R₂) \frac{1}{R} > \frac{1}{R _{1}} \Rightarrow R < R_{1} 6 Ω / / 3 Ω = \frac{18}{9} = 2 Ω 1/R>1/R₁ \Rightarrow R<R₁ 6 Ω / / 3 Ω=18/9=2 Ω I = \frac{6 500}{230} \approx 28 A > 16 A I=(6 500)/230\approx28 A >16 A

Conclusion : la réponse à la question

En parallèle, les conductances s'additionnent : $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ 1/R=1/R₁+1/R₂. La résistance équivalente est donc plus petite que chacune, et brancher plus d'appareils sur une prise augmente le courant appelé jusqu'à faire sauter le disjoncteur.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Et en série ?

Les résistances s'additionnent : $R = R_{1} + R_{2}$ R=R₁+R₂, plus grande que chacune ; c'est le même courant qui traverse les deux.

Démontrez R = R₁R₂/(R₁ + R₂).

$\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}$ 1/R₁+1/R₂=(R₁+R₂)/R₁R₂, puis on prend l'inverse.

Quelle vitesse moyenne pour un aller à 60 km/h et un retour à 30 km/h ?

La moyenne harmonique : $\frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{30}} = 40$ 2/(1/60+1/30)=40 km/h, et non 45.

Pourquoi les appareils de la maison sont-ils en parallèle ?

Chacun reçoit 230 V et fonctionne indépendamment : on peut en éteindre un sans couper les autres.

Quelle résistance a un radiateur de 2 000 W sous 230 V ?

$R = \frac{U ^{2}}{P} = \frac{52 900}{2 000} \approx 26$ R=U²/P=(52 900)/(2 000)≈26 Ω.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les résistances en parallèle.
Écrire $R = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ R=1/R₁+1/R₂ en oubliant de prendre l'inverse.
Dire que plus de résistances implique toujours moins de courant.

Revoir les notions

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