Question transversaleMathsPhysique-chimieRadioactivité et datation

Le corps humain est-il radioactif ?

Q: Calculez 140 × 1,17 × 10⁻⁴.

$163,8×10⁻⁴≈1,64×10⁻²$.

Un adulte contient environ 140 g de potassium, dont 0,0117 % de potassium 40 (demi-vie 1,25 milliard d'années) : A = λN ≈ 4 300 Bq, auxquels s'ajoutent environ 3 700 Bq de carbone 14, soit près de 8 000 désintégrations par seconde.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

J'ai lu qu'une banane est légèrement radioactive à cause de son potassium, et que nous le sommes aussi. Cela m'a d'abord inquiété. J'ai voulu vérifier par le calcul combien de désintégrations se produisent chaque seconde dans mon propre corps, et comparer ce nombre aux autres sources de radioactivité.

L'enjeu et les notions du programme

Mener un calcul d'activité avec des proportions et des puissances de 10, et exercer son esprit critique sur la notion de danger.

Mathématiques

Proportions, pourcentages (seconde)
Puissances de 10, ordres de grandeur (seconde)
Logarithme : $λ = \frac{l n 2}{t _{1/2}}$ λ=ln2/(t_1/2) (terminale)

Physique-chimie

Isotopes, composition d'un échantillon (seconde)
Quantité de matière (seconde)
Activité, radioactivité naturelle (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Notre corps contient du potassium et du carbone, deux éléments qui ont des isotopes radioactifs naturels. Problématique : quelle est l'activité d'un corps humain, et faut-il s'en inquiéter ?
2. Le potassium 40
4 min
Un adulte de 70 kg contient environ $140$ 140 g de potassium, dont une proportion de $0, 0117$ 0,0117 % de potassium 40, soit $140 \times 1, 17 \times 1 0^{- 4} \approx 1, 64 \times 1 0^{- 2}$ 140×1,17×10⁻⁴≈1,64×10⁻² g. Avec une masse molaire de $40$ 40 g/mol : $N \approx \frac{1 , 64 \times 1 0 ^{- 2}}{40} \times 6, 02 \times 1 0^{23} \approx 2, 5 \times 1 0^{20}$ N≈1,64×10⁻²/40×6,02×10²³≈2,5×10²⁰ noyaux.
Demi-vie : $1, 25$ 1,25 milliard d'années, soit $1, 25 \times 1 0^{9} \times 3, 16 \times 1 0^{7} \approx 3, 9 \times 1 0^{16}$ 1,25×10⁹×3,16×10⁷≈3,9×10¹⁶ s. D'où $λ = \frac{0 , 693}{3 , 9 \times 1 0 ^{16}} \approx 1, 8 \times 1 0^{- 17}$ λ=0,693/3,9×10¹⁶≈1,8×10⁻¹⁷ s⁻¹ et $A = λ N \approx 4300$ A=λ N≈4 300 Bq.
La demi-vie très longue explique qu'il en reste depuis la formation de la Terre, et que chaque noyau soit très peu actif : il en faut des centaines de milliards de milliards pour quelques milliers de désintégrations par seconde.
3. Comparaison et esprit critique
3 min
Le carbone 14 ajoute environ $3700$ 3 700 Bq (environ 16 kg de carbone, à $0, 23$ 0,23 Bq par gramme). Au total, près de $8000$ 8 000 désintégrations par seconde dans notre corps.
Cela paraît énorme, mais l'activité ne dit pas tout : il faut l'énergie et le type de rayonnement. Cette radioactivité interne représente une petite part de la dose annuelle moyenne en France, dominée par le radon et les examens médicaux. Elle est constante (le potassium est régulé par l'organisme) : manger des bananes n'augmente pas durablement la quantité de potassium du corps.
4. Conclusion
2 min
Oui, le corps humain est radioactif : environ 8 000 désintégrations par seconde, surtout du potassium 40 et du carbone 14. Le calcul $A = λ N$ A=λ N avec des puissances de 10 le montre, et la comparaison avec les autres sources relativise le danger. J'ouvre sur la différence entre activité (en becquerels) et dose reçue (en sieverts).

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

m_{K40} = 140 \times 1, 17 \times 1 0^{- 4} \approx 1, 64 \times 1 0^{- 2} g N \approx \frac{1 , 64 \times 1 0 ^{- 2}}{40} \times 6, 02 \times 1 0^{23} \approx 2, 5 \times 1 0^{20} m_K40=140\times1,17\times10⁻⁴\approx1,64\times10⁻² g N\approx1,64\times10⁻²/40\times6,02\times10²³\approx2,5\times10²⁰ λ = \frac{ln 2}{3 , 9 \times 1 0 ^{16} s} \approx 1, 8 \times 1 0^{- 17} s^{- 1} λ=ln2/(3,9\times10¹⁶ s)\approx1,8\times10⁻¹⁷ s ⁻¹ A = λ N \approx 4300 Bq A_{totale} \approx 4300 + 3700 \approx 8000 Bq A=λ N\approx4 300 Bq A_ totale \approx4 300+3 700\approx8 000 Bq

Conclusion : la réponse à la question

Le corps humain est naturellement radioactif, avec une activité d'environ 8 000 Bq due au potassium 40 et au carbone 14. Un calcul d'ordre de grandeur le confirme, et la comparaison avec la dose totale reçue montre que cette radioactivité interne n'est qu'une petite part de notre exposition naturelle.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi reste-t-il du potassium 40 depuis la formation de la Terre ?

4,5 milliards d'années ne font qu'environ 3,6 demi-vies : il en reste $2^{- 3, 6} \approx 8$ 2^(-3,6)≈8 %.

Calculez 140 × 1,17 × 10⁻⁴.

$163, 8 \times 1 0^{- 4} \approx 1, 64 \times 1 0^{- 2}$ 163,8×10⁻⁴≈1,64×10⁻².

Une activité de 8 000 Bq est-elle dangereuse ?

Pas en soi : il faut tenir compte de l'énergie déposée et du type de rayonnement. On mesure la dose en sieverts, et celle-ci reste faible.

Deux personnes côte à côte s'irradient-elles ?

Très faiblement : une partie du rayonnement gamma du potassium 40 sort du corps, mais la dose reçue est minime.

Pourquoi le carbone 14 du corps reste-t-il constant ?

Nous renouvelons sans cesse notre carbone en mangeant : la proportion reste celle de l'atmosphère tant que nous vivons.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre la masse de potassium et celle de potassium 40.
Oublier de convertir la demi-vie en secondes.
Assimiler activité et danger.

Revoir les notions

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