Combien de désintégrations par seconde produit un gramme de radium ?

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En lisant la biographie de Marie Curie, j'ai découvert que l'unité « curie » correspondait à l'activité d'un gramme de radium. Je me suis demandé si je pouvais retrouver ce nombre, 37 milliards de désintégrations par seconde, avec un simple calcul. Il demande d'enchaîner la mole, la demi-vie et le logarithme, et d'être à l'aise avec les puissances de 10.

L'enjeu et les notions du programme

Mener un calcul d'ordre de grandeur rigoureux avec des puissances de 10 et la relation A = λN.

Le plan de l'exposé en 10 min

1. 1. Introduction

   1 min

   Le radium 226, découvert par Marie et Pierre Curie en 1898, a une demi-vie de $1600$1 600 ans. Problématique : combien de désintégrations par seconde produit un gramme de radium ?

2. 2. Le nombre de noyaux

   2,5 min

   La masse molaire du radium 226 vaut $226$226 g/mol. Un gramme contient $\frac{1}{226}$1/226 mol, soit $N=\frac{6,02\times 10^{23}}{226}\approx 2,7\times 10^{21}$N=6,02×10²³/226≈2,7×10²¹ noyaux.

   Ordre de grandeur de tête : $\frac{6\times 10^{23}}{2,26\times 10^2}\approx 2,7\times 10^{21}$6×10²³/2,26×10²≈2,7×10²¹.

3. 3. La constante radioactive et l'activité

   4,5 min

   La demi-vie doit être en secondes : un an vaut environ $3,16\times 10^7$3,16×10⁷ s, donc $t_{1/2}=1600\times 3,16\times 10^7\approx 5,05\times 10^{10}$t_1/2=1 600×3,16×10⁷≈5,05×10¹⁰ s. Alors $\lambda =\frac{\ln 2}{t_{1/2}}\approx \frac{0,693}{5,05\times 10^{10}}\approx 1,37\times 10^{-11}$λ=ln2/(t_1/2)≈0,693/5,05×10¹⁰≈1,37×10⁻¹¹ s⁻¹.

   L'activité vaut $A=\lambda N\approx 1,37\times 10^{-11}\times 2,7\times 10^{21}\approx 3,7\times 10^{10}$A=λ N≈1,37×10⁻¹¹×2,7×10²¹≈3,7×10¹⁰ Bq : 37 milliards de désintégrations par seconde. C'est la définition du curie, $1$1 Ci $=3,7\times 10^{10}$=3,7×10¹⁰ Bq.

   Ce nombre énorme ne fait presque pas varier la masse : en un an, il disparaît $\lambda N\times 3,16\times 10^7\approx 1,2\times 10^{18}$λ N×3,16×10⁷≈1,2×10¹⁸ noyaux, soit $0,04$0,04 % de l'échantillon, cohérent avec une demi-vie de 1 600 ans. L'activité est donc quasiment constante à l'échelle d'une vie humaine.

4. 4. Conclusion

   2 min

   Un gramme de radium produit environ $3,7\times 10^{10}$3,7×10¹⁰ désintégrations par seconde : c'est le curie, obtenu par $A=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}N$A=ln2/(t_1/2)N. Le calcul montre qu'une activité gigantesque correspond à une disparition de matière minuscule. J'ouvre sur les dangers du radium, utilisé un temps dans les cadrans lumineux de montres, au prix de la santé des ouvrières qui les peignaient.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

Conclusion : la réponse à la question

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Les pièges qui coûtent des points

• Garder la demi-vie en années dans A = λN.
• Se tromper d'un facteur 10 dans les puissances.
• Oublier ln 2 dans λ.

Revoir les notions

• Nombres et calculs (Seconde) →
• Fonction logarithme népérien (Terminale spé maths) →

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