Question transversaleMathsPhysique-chimieÉlectricité

Pourquoi dit-on que le secteur est à 230 V alors que la tension monte jusqu'à 325 V ?

La tension du secteur est sinusoïdale ; la valeur efficace est celle d'une tension continue qui chaufferait autant, U_max/√2, car la valeur moyenne de sin² sur une période vaut ½ : 325/√2 ≈ 230 V.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En regardant la tension du secteur sur un oscilloscope (avec un transformateur de sécurité), mon professeur nous a montré une sinusoïde qui monte à plus de 300 volts. Pourtant tout le monde parle de 230 volts. J'ai voulu comprendre ce que représente cette valeur et pourquoi on divise par $2$ sqrt2 : la réponse est une valeur moyenne, calculée par une intégrale.

L'enjeu et les notions du programme

Calculer la valeur moyenne d'une fonction périodique par une intégrale et l'interpréter physiquement comme une équivalence énergétique.

Mathématiques

Valeur moyenne d'une fonction : $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ 1/(b-a)∫ₐ^(b)f (terminale)
Formule $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ cos²x+sin²x=1, primitives de fonctions trigonométriques (première, terminale)
Fonctions sinusoïdales, période (terminale)

Physique-chimie

Tension alternative sinusoïdale, période, fréquence (seconde, première)
Effet Joule, puissance P = U²/R (première)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
La tension du secteur s'écrit $u (t) = U_{m} sin (ω t)$ u(t)=U_msin(ω t) avec $f = 50$ f=50 Hz. Sa valeur moyenne est nulle. Problématique : que signifie « 230 V » pour une tension qui change de signe cent fois par seconde ?
2. Physique : l'équivalence en chaleur
3 min
Un radiateur de résistance $R$ R reçoit la puissance instantanée $p (t) = \frac{u ( t ) ^{2}}{R}$ p(t)=u(t)²/R, toujours positive. La valeur efficace $U_{eff}$ U_ eff est la tension continue qui produirait la même puissance moyenne : $\frac{U _{eff}^{2}}{R} = \overline{p}$ (U_ eff ²)/R=p̅, donc $U_{eff}^{2} = \overline{u^{2}}$ U_ eff ²=u²̅, la moyenne du carré.
C'est donc la racine de la moyenne du carré : la moyenne simple de $u$ u serait nulle, celle de $u^{2}$ u² ne l'est pas.
3. Mathématiques : la moyenne de sin²
4 min
Sur une période $T = \frac{2 π}{ω}$ T=frac2πω, les fonctions $sin^{2} (ω t)$ sin²(ω t) et $cos^{2} (ω t)$ cos²(ω t) ont la même moyenne (leurs courbes se déduisent l'une de l'autre par un décalage d'un quart de période). Or leur somme vaut 1. Donc chacune a pour moyenne $\frac{1}{2}$ 1/2 : $\frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin^{2} (ω t) d t = \frac{1}{2}$ 1/T∫₀^(T)sin²(ω t) dt=1/2.
D'où $\overline{u^{2}} = \frac{U _{m}^{2}}{2}$ u²̅=U_m²/2 et $U_{eff} = \frac{U _{m}}{2}$ U_ eff =U_m/sqrt2. Avec $U_{eff} = 230$ U_ eff =230 V : $U_{m} = 2302 \approx 325$ U_m=230sqrt2≈325 V.
Vérification par le calcul : avec $sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}$ sin²x=(1-cos2x)/2, une primitive est $\frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}$ x/2-sin2x/4, et l'intégrale sur $[0; 2 π]$ [0;2π] vaut $π$ π, soit une moyenne de $\frac{π}{2 π} = \frac{1}{2}$ π/2π=1/2.
4. Conclusion
2 min
On dit 230 V parce que c'est la valeur efficace : une tension continue de 230 V chaufferait un radiateur autant que la tension alternative du secteur, dont l'amplitude vaut $2302 \approx 325$ 230sqrt2≈325 V. Le $2$ sqrt2 vient de la moyenne $\frac{1}{2}$ 1/2 de $sin^{2}$ sin². J'ouvre sur les multimètres « RMS », qui calculent cette moyenne quadratique pour n'importe quelle forme de signal.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

U_{eff}^{2} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u (t)^{2} d t \frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin^{2} (ω t) d t = \frac{1}{2} U_ eff ²=1/T\int₀^(T) u(t)² dt 1/T\int₀^(T)sin²(ω t) dt=1/2 U_{eff} = \frac{U _{m}}{2} ⟺ U_{m} = 2302 \approx 325 V U_ eff =U_m/sqrt2\Leftrightarrow U_m=230sqrt2\approx325 V sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2} \Rightarrow \int_{0}^{2 π} sin^{2} x d x = π sin²x=(1-cos2x)/2 \Rightarrow \int₀^(2π)sin²x dx=π

Conclusion : la réponse à la question

Le secteur est dit « à 230 V » parce que c'est sa valeur efficace, la racine de la moyenne du carré de la tension : une tension continue de 230 V produirait le même échauffement. Comme la moyenne de $sin^{2}$ sin² vaut $\frac{1}{2}$ 1/2, l'amplitude vaut $2302 \approx 325$ 230sqrt2≈325 V.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Quelle est la valeur moyenne de u sur une période ?

Zéro : $\int_{0}^{T} sin (ω t) d t = 0$ ∫₀^(T)sin(ω t) dt=0, les alternances positive et négative se compensent.

Démontrez sin²x = (1 − cos 2x)/2.

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x$ cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x.

La valeur efficace d'un signal carré ±U ?

Le carré vaut toujours $U^{2}$ U² : la valeur efficace est $U$ U.

Quelle est la période du secteur ?

$T = \frac{1}{50} = 20$ T=1/50=20 ms ; la tension change de signe toutes les 10 ms.

Pourquoi la puissance est-elle positive alors que la tension change de signe ?

$p = \frac{u ^{2}}{R} \geq 0$ p=u²/R≥0 : le courant change de sens en même temps que la tension, la résistance chauffe dans les deux sens.

Les pièges qui coûtent des points

Dire que 230 V est la valeur moyenne de la tension.
Diviser par 2 au lieu de $2$ sqrt2.
Oublier de prendre la racine de la moyenne de $u^{2}$ u².

Revoir les notions

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