Question transversaleMathsPhysique-chimieMouvement et mécanique

Pourquoi une bouteille percée se vide-t-elle de plus en plus lentement ?

Q: Vérifiez que h(t) est solution de l'équation.

Avec $c=s/S√(g/2)$ : $h=( √H -ct)²$, $h'=-2c( √H -ct)=-2c √h $, et $2c=s/S√(2g)$.

Q: Pourquoi la vitesse de sortie ne dépend-elle pas de la masse volumique ?

$ρ$ se simplifie dans Bernoulli, comme la masse en chute libre : du mercure sortirait à la même vitesse.

Q: Quel temps pour vider la moitié de la hauteur ?

$√(h)$ passe de $ √H $ à $( √H )/sqrt2$ : environ 29 % de $T$, soit 6 s sur 20 s.

L'eau sort à la vitesse √(2gh) (Torricelli, d'après Bernoulli) : le niveau baisse d'autant moins vite qu'il est bas, et la racine de la hauteur décroît linéairement, ce qui donne une durée de vidange (S/s)√(2H/g).

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En perçant le bas d'une bouteille d'eau, j'ai remarqué que le jet est puissant au début puis faiblit, et que les derniers centimètres mettent longtemps à s'écouler. J'ai voulu modéliser ce phénomène : la physique donne la vitesse de sortie, et les mathématiques permettent de prévoir le temps de vidange.

L'enjeu et les notions du programme

Relier la relation de Bernoulli à une équation différentielle et la résoudre grâce à la dérivée d'une racine carrée composée.

Mathématiques

Dérivée de $u$ √u : $\frac{u ^{'}}{2 u}$ u'/(2 √u ) (terminale)
Fonctions affines, second degré (seconde, première)
Équations différentielles : vérifier une solution (terminale)

Physique-chimie

Écoulement d'un fluide : débit volumique, conservation du débit (terminale)
Relation de Bernoulli, formule de Torricelli (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un récipient de section $S$ S est rempli d'eau sur une hauteur $H$ H et percé à sa base d'un petit trou de section $s$ s. Problématique : comment évolue le niveau, et combien de temps faut-il pour vider le récipient ?
2. Physique : vitesse de sortie et débit
3 min
La relation de Bernoulli entre la surface libre (vitesse presque nulle, pression atmosphérique) et le trou (pression atmosphérique) donne $\frac{1}{2} ρ v^{2} = ρ g h$ 1/2ρ v²=ρ gh, soit $v = 2 g h$ v=√(2gh) : c'est la vitesse d'une chute libre de hauteur $h$ h (Torricelli).
Conservation du débit : le volume qui sort par seconde, $s v$ s v, est égal à celui que perd le récipient, $- S h^{'} (t)$ -S h'(t). D'où $h^{'} (t) = - \frac{s}{S} 2 g h (t)$ h'(t)=-s/S√(2g h(t)). Plus $h$ h est petit, plus le niveau baisse lentement.
3. Mathématiques : résolution
4 min
L'équation n'est pas de la forme $y^{'} = a y + b$ y'=ay+b, mais on remarque que $(h)^{'} = \frac{h ^{'}}{2 h} = - \frac{s}{S} \frac{g}{2}$ ( √h )'=h'/(2 √h )=-s/S√(g/2), une constante. Donc $h (t)$ √(h(t)) est une fonction affine : $h (t) = H - \frac{s}{S} \frac{g}{2} t$ √(h(t))= √H -s/S√(g/2) t.
On en déduit $h (t) = (H - \frac{s}{S} \frac{g}{2} t)^{2}$ h(t)=( √H -s/S√(g/2) t)² : le niveau suit un arc de parabole, de tangente horizontale à la fin. Le récipient est vide quand $h = 0$ √h =0 : $T = \frac{S}{s} \frac{2 H}{g}$ T=S/s√(2H/g).
Application : $H = 20$ H=20 cm, $g = 10$ g=10 m/s², trou cent fois plus petit que la section : $T = 100 \times 0, 04 = 20$ T=100×√(0,04)=20 s. La moitié supérieure de l'eau (de $H$ H à $\frac{H}{2}$ H/2) s'écoule en $T (1 - \frac{1}{2}) \approx 0, 29 T$ T(1-1/sqrt2)≈0,29 T, la moitié inférieure en $0, 71 T$ 0,71 T.
4. Conclusion
2 min
La bouteille se vide de plus en plus lentement parce que la vitesse de sortie $2 g h$ √(2gh) diminue avec la hauteur. La racine de la hauteur décroît linéairement, et la durée de vidange est proportionnelle à $H$ √H : quatre fois plus d'eau en hauteur ne prend que deux fois plus de temps. J'ouvre sur les clepsydres, horloges à eau dont la forme était choisie pour que le niveau baisse à vitesse constante.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

v = 2 g h S h^{'} (t) = - s 2 g h (t) v=\sqrt(2gh) S h'(t)=-s\sqrt(2g h(t)) (h)^{'} = \frac{h ^{'}}{2 h} = - \frac{s}{S} \frac{g}{2} \Rightarrow h (t) = H - \frac{s}{S} \frac{g}{2} t ( \sqrth )'=h'/(2 \sqrth )=-s/S\sqrt(g/2) \Rightarrow \sqrt(h(t))= \sqrtH -s/S\sqrt(g/2) t T = \frac{S}{s} \frac{2 H}{g} = 100 \times \frac{0 , 4}{10} = 20 s T=S/s\sqrt(2H/g)=100\times\sqrt(0,4/10)=20 s

Conclusion : la réponse à la question

Le niveau d'une bouteille percée baisse de plus en plus lentement parce que la vitesse de l'eau à la sortie est $2 g h$ √(2gh). La racine carrée de la hauteur décroît à vitesse constante, et le temps de vidange vaut $\frac{S}{s} \frac{2 H}{g}$ S/s√(2H/g).

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Vérifiez que h(t) est solution de l'équation.

Avec $c = \frac{s}{S} \frac{g}{2}$ c=s/S√(g/2) : $h = (H - c t)^{2}$ h=( √H -ct)², $h^{'} = - 2 c (H - c t) = - 2 c h$ h'=-2c( √H -ct)=-2c √h, et $2 c = \frac{s}{S} 2 g$ 2c=s/S√(2g).

Pourquoi la vitesse de sortie ne dépend-elle pas de la masse volumique ?

$ρ$ ρ se simplifie dans Bernoulli, comme la masse en chute libre : du mercure sortirait à la même vitesse.

Quel temps pour vider la moitié de la hauteur ?

$h$ √(h) passe de $H$ √H à $\frac{H}{2}$ ( √H )/sqrt2 : environ 29 % de $T$ T, soit 6 s sur 20 s.

Que représente la conservation du débit ?

L'eau est incompressible : le volume qui quitte le récipient par seconde est celui qui passe dans le trou.

En pratique, le temps mesuré est-il plus long ?

Oui : le jet se contracte à la sortie et les frottements réduisent la vitesse ; on corrige par un coefficient de débit d'environ 0,6.

Les pièges qui coûtent des points

Écrire $h^{'} = - \frac{s}{S} 2 g h$ h'=-s/S√(2gh) puis chercher une solution exponentielle.
Se tromper sur la dérivée de $h$ √h (oublier $h^{'}$ h').
Confondre la vitesse de l'eau dans le trou et la vitesse de baisse du niveau.

Revoir les notions

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