Question transversaleMathsSESFinance et emprunt

Pourquoi 1 000 € dans dix ans valent-ils moins que 1 000 € aujourd'hui ?

Q: La fonction r ↦ 1/(1 + r)ⁿ est-elle convexe ?

Oui : sa dérivée seconde $n(n+1)(1+r)⁻ⁿ⁻²$ est positive.

Q: À quel taux 1 000 € dans 10 ans valent-ils 500 € aujourd'hui ?

$(1+r)¹⁰=2$, $r=2^(0,1)-1≈7,2$ %.

Avec un taux de 3 %, 1 000 € disponibles dans 10 ans ne valent aujourd'hui que 1 000/1,03¹⁰ ≈ 744 € : c'est la somme qu'il faudrait placer maintenant. L'actualisation, inverse des intérêts composés, fonde les décisions d'investissement et les politiques climatiques.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Quand on m'a proposé de choisir entre 900 € tout de suite et 1 000 € dans deux ans, j'ai hésité sans savoir comment trancher. En SES, j'ai découvert que les économistes comparent des sommes à des dates différentes en les « actualisant ». J'ai voulu comprendre ce calcul, qui inverse les intérêts composés et intervient aussi bien dans les choix des entreprises que dans les débats sur le climat.

L'enjeu et les notions du programme

Comprendre l'actualisation comme l'inverse de la capitalisation et l'utiliser pour comparer des sommes à des dates différentes.

Mathématiques

Suites géométriques, intérêts composés (première)
Fonction $r \mapsto \frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ r↦1/((1+r)ⁿ), sens de variation (première, terminale)
Exponentielle et logarithme (terminale)

Sciences économiques et sociales

Taux d'intérêt, épargne et financement de l'économie (première)
Décision d'investissement (première, terminale)
Politiques climatiques et arbitrages intergénérationnels (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Recevoir 1 000 € aujourd'hui ou dans dix ans : la plupart des gens préfèrent aujourd'hui. Problématique : comment chiffrer cette préférence, et à quoi sert ce calcul ?
2. Mathématiques : inverser les intérêts composés
3,5 min
Placée au taux $r$ r, une somme $V_{0}$ V₀ vaut $V_{0} (1 + r)^{n}$ V₀(1+r)ⁿ dans $n$ n ans. Inversement, la valeur présente d'une somme $V_{n}$ Vₙ disponible dans $n$ n ans est $V_{0} = \frac{V _{n}}{( 1 + r ) ^{n}}$ V₀=Vₙ/((1+r)ⁿ) : c'est la somme qu'il faudrait placer aujourd'hui pour l'obtenir.
À $r = 3$ r=3 % : $\frac{1 000}{1 , 0 3 ^{10}} \approx 744$ (1 000)/1,03¹⁰≈744 €. À $r = 7$ r=7 % : $\approx 508$ ≈508 €. La fonction $r \mapsto \frac{1}{( 1 + r ) ^{n}}$ r↦1/((1+r)ⁿ) est décroissante : plus le taux est élevé, moins le futur compte. Elle décroît aussi avec $n$ n : un gain lointain pèse peu.
Pour le choix initial : 1 000 € dans deux ans valent $\frac{1 000}{1 , 0 3 ^{2}} \approx 943$ (1 000)/1,03²≈943 € aujourd'hui, plus que 900 € : il vaut mieux attendre, si l'on peut placer à 3 %.
3. SES : pourquoi actualiser ?
3,5 min
Le taux d'actualisation traduit le coût d'opportunité de l'argent (ce qu'il pourrait rapporter), la préférence pour le présent et le risque. En SES, il intervient dans la décision d'investissement : une entreprise investit si la valeur actualisée des gains futurs dépasse le coût.
Il joue un rôle majeur dans les politiques climatiques : des dommages de 1 000 milliards dans 100 ans valent aujourd'hui $\frac{1 000}{1 , 0 1 ^{100}} \approx 370$ (1 000)/1,01¹⁰⁰≈370 milliards à 1 %, mais seulement $\frac{1 000}{1 , 0 5 ^{100}} \approx 7, 6$ (1 000)/1,05¹⁰⁰≈7,6 milliards à 5 %. Le choix du taux, débat éthique autant qu'économique, détermine l'effort de réduction jugé raisonnable aujourd'hui (débat entre les économistes Stern et Nordhaus).
4. Conclusion
2 min
1 000 € dans dix ans valent moins qu'aujourd'hui parce qu'on pourrait les obtenir en plaçant une somme plus faible : environ 744 € à 3 %. L'actualisation, inverse des intérêts composés, permet de comparer des montants à des dates différentes, et son taux est un choix lourd de conséquences. J'ouvre sur la valeur actuelle nette, qui décide des investissements.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

V_{n} = V_{0} (1 + r)^{n} ⟺ V_{0} = \frac{V _{n}}{( 1 + r ) ^{n}} Vₙ=V₀(1+r)ⁿ\Leftrightarrow V₀=Vₙ/((1+r)ⁿ) \frac{1 000}{1 , 0 3 ^{10}} \approx 744 euros \frac{1 000}{1 , 0 7 ^{10}} \approx 508 euros \frac{1 000}{1 , 0 3 ^{2}} \approx 943 euros (1 000)/1,03¹⁰\approx744 euros (1 000)/1,07¹⁰\approx508 euros (1 000)/1,03²\approx943 euros 100 ans : \frac{1}{1 , 0 1 ^{100}} \approx 0, 37 contre \frac{1}{1 , 0 5 ^{100}} \approx 0, 0076 100 ans : 1/1,01¹⁰⁰\approx0,37 contre 1/1,05¹⁰⁰\approx0,0076

Conclusion : la réponse à la question

La valeur présente d'une somme future s'obtient en divisant par $(1 + r)^{n}$ (1+r)ⁿ : c'est l'inverse des intérêts composés. Plus le taux est élevé et l'échéance lointaine, plus le futur pèse peu, ce qui rend le choix du taux décisif dans les arbitrages de long terme.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce que le coût d'opportunité ?

Ce à quoi on renonce en faisant un choix : ici, les intérêts que l'argent aurait rapportés s'il avait été placé.

Valeur présente de 500 € dans 3 ans à 4 % ?

$\frac{500}{1 , 0 4 ^{3}} \approx 444$ 500/1,04³≈444 €.

Pourquoi le taux d'actualisation est-il un choix éthique pour le climat ?

Un taux élevé donne peu de poids aux générations futures ; un taux faible leur accorde presque la même importance qu'à nous.

La fonction r ↦ 1/(1 + r)ⁿ est-elle convexe ?

Oui : sa dérivée seconde $n (n + 1) (1 + r)^{- n - 2}$ n(n+1)(1+r)⁻ⁿ⁻² est positive.

À quel taux 1 000 € dans 10 ans valent-ils 500 € aujourd'hui ?

$(1 + r)^{10} = 2$ (1+r)¹⁰=2, $r = 2^{0, 1} - 1 \approx 7, 2$ r=2^(0,1)-1≈7,2 %.

Les pièges qui coûtent des points

Diviser par 1 + nr au lieu de (1 + r)ⁿ.
Comparer des sommes à des dates différentes sans actualiser.
Présenter le taux d'actualisation comme une donnée objective.

Revoir les notions

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