Question transversaleMathsSESFinance et emprunt

Pourquoi s'endetter peut-il multiplier les gains d'une entreprise, et ses pertes ?

Q: Démontrez la formule du levier.

$(rₑ(C+D)-iD)/C=rₑ+(rₑD-iD)/C=rₑ+(rₑ-i)D/C$.

Q: Avec un levier de 30, quelle baisse des actifs efface les fonds propres ?

Fonds propres $=1/31$ du total, soit environ 3,2 % : une baisse de cette ampleur suffit.

Q: Pourquoi l'écart type est-il multiplié par 1 + D/C ?

$r_f=(1+D/C)rₑ-iD/C$ : une transformation affine multiplie l'écart type par la valeur absolue du coefficient.

La rentabilité des capitaux propres vaut r_e + (r_e − i)·D/C : avec un rendement économique de 8 % et un taux d'intérêt de 4 %, une dette égale à deux fois les fonds propres porte la rentabilité à 16 % ; mais si le rendement tombe à 2 %, elle devient −2 %.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En étudiant la crise financière de 2008 en SES, j'ai souvent rencontré l'expression « effet de levier ». On dit qu'il a enrichi les banques, puis qu'il a précipité leur chute. J'ai voulu comprendre comment emprunter peut augmenter la rentabilité, et pourquoi le même mécanisme amplifie les pertes. La formule est une simple fonction affine.

L'enjeu et les notions du programme

Établir une relation affine entre rentabilité et endettement, et étudier le signe de son coefficient directeur.

Mathématiques

Fonctions affines, signe du coefficient directeur (seconde)
Calcul littéral, mise en facteur (seconde)
Variables aléatoires et dispersion (terminale)

Sciences économiques et sociales

Financement des entreprises, endettement (première)
Crises financières, effet de levier, prise de risque (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une entreprise finance ses projets avec ses fonds propres $C$ C et des dettes $D$ D au taux $i$ i. Ses investissements rapportent un rendement $r_{e}$ rₑ. Problématique : comment l'endettement modifie-t-il la rentabilité pour les actionnaires ?
2. Mathématiques : la formule du levier
3,5 min
L'entreprise investit $C + D$ C+D et gagne $r_{e} (C + D)$ rₑ(C+D). Elle paie $i D$ iD d'intérêts. Il reste aux actionnaires $r_{e} (C + D) - i D$ rₑ(C+D)-iD, d'où la rentabilité des fonds propres : $r_{f} = \frac{r _{e} ( C + D ) - i D}{C} = r_{e} + (r_{e} - i) \frac{D}{C}$ r_f=(rₑ(C+D)-iD)/C=rₑ+(rₑ-i)D/C.
C'est une fonction affine du ratio d'endettement $\frac{D}{C}$ D/C, de coefficient directeur $r_{e} - i$ rₑ-i. Si $r_{e} > i$ rₑ>i, plus l'entreprise s'endette, plus la rentabilité augmente : avec $r_{e} = 8$ rₑ=8 % et $i = 4$ i=4 %, $r_{f} = 8$ r_f=8 %, 12 % et 16 % pour $\frac{D}{C} = 0$ D/C=0, 1 et 2.
3. SES : le levier à double tranchant
3,5 min
Si le rendement chute sous le taux d'intérêt, le coefficient devient négatif : avec $r_{e} = 2$ rₑ=2 %, $r_{f} = 2$ r_f=2 %, 0 % et $- 2$ -2 % pour les mêmes ratios. L'endettement amplifie aussi les pertes, et une perte supérieure aux fonds propres mène à la faillite.
Si le rendement est incertain, l'endettement multiplie sa dispersion : l'écart type de $r_{f}$ r_f vaut $(1 + \frac{D}{C})$ (1+D/C) fois celui de $r_{e}$ rₑ. Avant 2008, certaines banques avaient des ratios dette/fonds propres de 30 ou plus : une baisse de 3 % de la valeur de leurs actifs suffisait à effacer leurs fonds propres. D'où, en SES, l'étude des règles prudentielles (ratios de fonds propres minimaux) qui limitent le levier.
4. Conclusion
2 min
L'endettement agit comme un levier : la rentabilité des fonds propres est une fonction affine de l'endettement, de pente $r_{e} - i$ rₑ-i. Il multiplie les gains quand le rendement dépasse le taux d'intérêt, et les pertes sinon. J'ouvre sur la régulation bancaire, qui impose des fonds propres minimaux pour limiter ce risque.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

r_{f} = \frac{r _{e} ( C + D ) - i D}{C} = r_{e} + (r_{e} - i) \frac{D}{C} r_f=(rₑ(C+D)-iD)/C=rₑ+(rₑ-i) D/C r_{e} = 8 %, i = 4 % : 8, 12, 16 % r_{e} = 2 % : 2, 0, - 2 % (D / C = 0, 1, 2) rₑ=8 %, i=4 %: 8, 12, 16 % rₑ=2 %: 2, 0, -2 % (D/C=0,1,2) σ (r_{f}) = (1 + \frac{D}{C}) σ (r_{e}) σ(r_f)=(1+D/C)σ(rₑ)

Conclusion : la réponse à la question

L'effet de levier est une fonction affine : $r_{f} = r_{e} + (r_{e} - i) \frac{D}{C}$ r_f=rₑ+(rₑ-i)D/C. Il augmente la rentabilité quand le rendement dépasse le coût de la dette, et amplifie les pertes dans le cas contraire, ce qui rend les institutions très endettées vulnérables.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Démontrez la formule du levier.

$\frac{r _{e} ( C + D ) - i D}{C} = r_{e} + \frac{r _{e} D - i D}{C} = r_{e} + (r_{e} - i) \frac{D}{C}$ (rₑ(C+D)-iD)/C=rₑ+(rₑD-iD)/C=rₑ+(rₑ-i)D/C.

Avec un levier de 30, quelle baisse des actifs efface les fonds propres ?

Fonds propres $= \frac{1}{31}$ =1/31 du total, soit environ 3,2 % : une baisse de cette ampleur suffit.

Pourquoi l'écart type est-il multiplié par 1 + D/C ?

$r_{f} = (1 + \frac{D}{C}) r_{e} - i \frac{D}{C}$ r_f=(1+D/C)rₑ-iD/C : une transformation affine multiplie l'écart type par la valeur absolue du coefficient.

Qu'est-ce qu'un ratio prudentiel ?

Une règle imposant aux banques un minimum de fonds propres par rapport à leurs risques, comme les ratios de Bâle III.

Les ménages subissent-ils un effet de levier ?

Oui, en achetant un logement à crédit : si le prix monte, le gain sur l'apport est amplifié ; s'il baisse, la perte aussi.

Les pièges qui coûtent des points

Croire que l'endettement augmente toujours la rentabilité.
Confondre rentabilité économique et rentabilité des fonds propres.
Oublier les intérêts dans le calcul du gain des actionnaires.

Revoir les notions

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