Question transversaleMathsSESFinance et emprunt

Pourquoi une dette publique peut-elle augmenter même sans nouveau déficit ?

Le ratio dette/PIB suit dₙ₊₁ = dₙ(1 + r)/(1 + g) − s, où s est le solde primaire : si le taux d'intérêt r dépasse la croissance g, la dette augmente même avec un budget primaire équilibré ; il faut un excédent primaire d(r − g)/(1 + g) pour la stabiliser.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

Dans les débats sur la dette publique française, on entend parler « d'effet boule de neige ». Je ne comprenais pas comment une dette pouvait grossir toute seule. En étudiant les suites arithmético-géométriques, j'ai trouvé un modèle simple du ratio dette/PIB, où tout dépend de la comparaison entre le taux d'intérêt et le taux de croissance.

L'enjeu et les notions du programme

Modéliser le ratio dette/PIB par une suite arithmético-géométrique et étudier sa limite selon la raison.

Mathématiques

Suites arithmético-géométriques, point fixe (première, terminale)
Limite d'une suite géométrique selon sa raison (terminale)
Coefficients multiplicateurs (seconde)

Sciences économiques et sociales

Politique budgétaire, déficit et dette publics (terminale)
Soutenabilité de la dette, taux d'intérêt et croissance (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Un État a une dette égale à 100 % de son PIB. Son budget hors intérêts (solde primaire) est équilibré. Problématique : sa dette rapportée au PIB va-t-elle diminuer, rester stable ou augmenter ?
2. Mathématiques : la suite du ratio
4 min
La dette est multipliée par $1 + r$ 1+r (intérêts) et le PIB par $1 + g$ 1+g (croissance nominale). Avec un solde primaire $s$ s (en % du PIB, positif pour un excédent), le ratio suit $d_{n + 1} = \frac{1 + r}{1 + g} d_{n} - s$ dₙ₊₁=(1+r)/(1+g) dₙ-s.
Si $s = 0$ s=0 : $d_{n} = d_{0} (\frac{1 + r}{1 + g})^{n}$ dₙ=d₀((1+r)/(1+g))ⁿ, suite géométrique. Avec $r = 3$ r=3 % et $g = 2$ g=2 %, la raison $\frac{1 , 03}{1 , 02} \approx 1, 0098$ 1,03/1,02≈1,0098 est supérieure à 1 : la dette passe de 100 % à environ 110 % en 10 ans, sans aucun nouveau déficit primaire. C'est l'effet boule de neige.
Pour stabiliser le ratio ( $d_{n + 1} = d_{n}$ dₙ₊₁=dₙ), il faut $s = d \frac{r - g}{1 + g} \approx 1 \times \frac{0 , 01}{1 , 02} \approx 0, 98$ s=d (r-g)/(1+g)≈1×0,01/1,02≈0,98 % du PIB d'excédent primaire. À l'inverse, si $r < g$ r<g (par exemple $r = 1$ r=1 %, $g = 3$ g=3 %), la raison est inférieure à 1 : même avec un déficit primaire de 2 %, le ratio converge vers le point fixe $\frac{0 , 02}{1 - 1 , 01/1 , 03} = 103$ 0,02/(1-1,01/1,03)=103 %.
3. SES : la soutenabilité
3 min
En SES, on étudie le débat sur la soutenabilité de la dette. Pendant les années 2010, les taux étaient inférieurs à la croissance : la dette pouvait être stabilisée malgré des déficits. La remontée des taux depuis 2022 a changé la situation, d'où l'inquiétude des économistes.
Le modèle montre que la dynamique dépend de trois paramètres : le niveau de dette, l'écart $r - g$ r-g et le solde primaire. La croissance et l'inflation (qui augmente $g$ g nominal) allègent la dette ; la hausse des taux l'alourdit. Les règles budgétaires européennes s'appuient sur ce raisonnement.
4. Conclusion
2 min
Une dette publique peut augmenter sans nouveau déficit primaire quand le taux d'intérêt dépasse le taux de croissance : le ratio dette/PIB suit alors une suite de raison supérieure à 1. Le stabiliser exige un excédent primaire proportionnel à l'écart $r - g$ r-g. J'ouvre sur le rôle de l'inflation, qui réduit le poids réel des dettes.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

d_{n + 1} = \frac{1 + r}{1 + g} d_{n} - s dₙ₊₁=(1+r)/(1+g) dₙ-s s = 0, r = 3 %, g = 2 % : d_{10} = (\frac{1 , 03}{1 , 02})^{10} \approx 1, 10 s=0, r=3 %, g=2 %: d₁₀=(1,03/1,02)¹⁰\approx1,10 stabilisation : s = d \frac{r - g}{1 + g} \approx 0, 98 % r < g : d_{n} \to \frac{- s}{1 - \frac{1 + r}{1 + g}} stabilisation : s=d (r-g)/(1+g)\approx0,98 % r<g: dₙ\to(-s)/(1-(1+r)/(1+g))

Conclusion : la réponse à la question

Le ratio dette/PIB suit une suite arithmético-géométrique de raison $\frac{1 + r}{1 + g}$ (1+r)/(1+g) : si le taux d'intérêt dépasse la croissance, la dette grossit d'elle-même ; sinon, elle se stabilise même avec un déficit modéré. L'écart $r - g$ r-g est au cœur du débat sur la soutenabilité.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Qu'est-ce que le solde primaire ?

Le solde budgétaire hors charge d'intérêts de la dette.

Pourquoi utiliser la croissance nominale ?

La dette est en euros courants : c'est le PIB en valeur, qui inclut l'inflation, qui sert de dénominateur.

Trouvez le point fixe de d' = qd − s.

$ℓ = q ℓ - s ⟺ ℓ = \frac{- s}{1 - q}$ ℓ=qℓ-s⇔ℓ=(-s)/(1-q) (positif si $s < 0$ s<0, c'est-à-dire en cas de déficit, et $q < 1$ q<1).

Une dette élevée est-elle forcément insoutenable ?

Non : tout dépend de r − g et de la capacité à dégager un solde primaire ; le Japon a une dette très élevée à des taux très bas.

Comment l'inflation agit-elle sur le ratio ?

Elle augmente g nominal ; si les taux de la dette existante sont fixes, le ratio baisse.

Les pièges qui coûtent des points

Confondre déficit (un flux) et dette (un stock).
Oublier la croissance du PIB au dénominateur.
Croire qu'un budget primaire équilibré stabilise toujours la dette.

Revoir les notions

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