Question transversaleMathsSESFinance et emprunt

Comment une entreprise décide-t-elle si un investissement est rentable ?

On actualise les gains futurs et on retranche le coût : un projet de 100 qui rapporte 30 par an pendant 4 ans a une VAN de +6,4 à 5 %, mais négative à 8 %. Le taux qui annule la VAN, le TRI ≈ 7,7 %, se trouve par dichotomie grâce au théorème des valeurs intermédiaires.

Grand oral session 2027 : exposé de 10 minutes debout, puis 10 minutes d'échange, sans calculatrice. Plan prévu pour 10 min.

Pourquoi cette question : un modèle d'introduction

Le jury attend que vous expliquiez pourquoi vous avez choisi la question. Inspirez-vous de ce modèle, mais racontez votre propre parcours.

En SES, on étudie l'investissement des entreprises et l'effet des taux d'intérêt sur celui-ci. On dit souvent qu'une hausse des taux freine l'investissement. J'ai voulu comprendre pourquoi en calculant la rentabilité d'un projet : la valeur actuelle nette est une fonction décroissante du taux, et son annulation donne un taux de rentabilité que l'on calcule par dichotomie.

L'enjeu et les notions du programme

Étudier une fonction somme de termes actualisés, sa monotonie, et résoudre une équation par le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie.

Mathématiques

Sommes de termes, suites géométriques (première)
Sens de variation d'une somme de fonctions (première)
Théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie (terminale)

Sciences économiques et sociales

Décision d'investissement, coût du capital (première, terminale)
Taux d'intérêt et politique monétaire (terminale)

Le plan de l'exposé en 10 min

1. Introduction
1 min
Une machine coûte 100 (milliers d'euros) et rapporte 30 par an pendant 4 ans. Les gains totaux (120) dépassent le coût. Problématique : l'investissement est-il rentable, et jusqu'à quel taux d'intérêt ?
2. Mathématiques : la valeur actuelle nette
4 min
On actualise chaque gain : $VAN (r) = - 100 + \frac{30}{1 + r} + \frac{30}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{30}{( 1 + r ) ^{3}} + \frac{30}{( 1 + r ) ^{4}}$ VAN (r)=-100+30/(1+r)+30/((1+r)²)+30/((1+r)³)+30/((1+r)⁴).
À $r = 5$ r=5 % : $VAN \approx + 6, 4$ VAN ≈+6,4 : rentable. À $r = 8$ r=8 % : $\approx - 0, 6$ ≈-0,6 ; à $10$ 10 % : $\approx - 4, 9$ ≈-4,9 : non rentable. Chaque terme $\frac{30}{( 1 + r ) ^{k}}$ 30/((1+r)^(k)) est décroissant en $r$ r, donc la VAN est strictement décroissante.
Comme elle est continue et change de signe entre 5 % et 8 %, le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un unique taux qui l'annule : le taux de rendement interne (TRI). Par dichotomie : $VAN (6, 5 %) > 0$ VAN (6,5 %)>0, $VAN (7, 25 %) > 0$ VAN (7,25 %)>0, $VAN (7, 6 %) > 0$ VAN (7,6 %)>0… On trouve $TRI \approx 7, 7$ TRI ≈7,7 %.
3. SES : taux d'intérêt et investissement
3 min
L'entreprise investit si le TRI dépasse le coût de son financement (taux d'emprunt ou rendement exigé par les actionnaires) : ici, tant que ce coût est inférieur à 7,7 %.
Quand la banque centrale relève ses taux, le coût du financement augmente : des projets autrefois rentables ne le sont plus, et l'investissement ralentit. C'est l'un des canaux de transmission de la politique monétaire étudiés en SES. Inversement, des taux bas encouragent l'investissement, mais aussi des projets peu productifs.
4. Conclusion
2 min
Une entreprise juge un investissement à sa valeur actuelle nette, fonction décroissante du taux ; le taux qui l'annule, trouvé par dichotomie, est le taux de rendement interne. Comparé au coût du financement, il explique pourquoi la hausse des taux freine l'investissement. J'ouvre sur l'investissement public, évalué avec un taux d'actualisation fixé par l'État.

Ce que j'écris au tableau

Pas de calculatrice ni de support numérique : un calcul clé écrit au tableau rend l'exposé concret et montre la solidité des connaissances.

VAN (r) = - 100 + k = 1 \sum 4 \frac{30}{( 1 + r ) ^{k}} VAN (r)=-100+Σ_k=1⁴30/((1+r)^(k)) VAN (5 %) \approx 6, 4 VAN (8 %) \approx - 0, 6 VAN (10 %) \approx - 4, 9 VAN (5 %)\approx6,4 VAN (8 %)\approx-0,6 VAN (10 %)\approx-4,9 VAN (TRI) = 0 \Rightarrow TRI \approx 7, 7 % VAN ( TRI )=0 \Rightarrow TRI \approx7,7 %

Conclusion : la réponse à la question

La valeur actuelle nette compare le coût d'un investissement à ses gains actualisés ; strictement décroissante en fonction du taux, elle s'annule en un unique taux, le TRI, approché par dichotomie. Un investissement n'est rentable que si son TRI dépasse le coût du financement.

Les questions probables du jury

Pendant les 10 minutesd'échange, le jury vous fait préciser et approfondir, sur tout le programme de vos spécialités en lien avec la question.

Pourquoi la VAN est-elle décroissante ?

Chaque terme $30 (1 + r)^{- k}$ 30(1+r)^(-k) a une dérivée $- 30 k (1 + r)^{- k - 1} < 0$ -30k(1+r)^(-k-1)<0.

Combien d'étapes de dichotomie pour encadrer le TRI à 0,01 % près à partir de [5 % ; 10 %] ?

$\frac{5}{2 ^{n}} \leq 0, 01 ⟺ 2^{n} \geq 500$ 5/2ⁿ≤0,01⇔2ⁿ≥500, soit 9 étapes.

Pourquoi ne pas simplement comparer 120 et 100 ?

Les gains arrivent plus tard : un euro futur vaut moins qu'un euro aujourd'hui.

Qu'est-ce qu'un canal de transmission de la politique monétaire ?

Un mécanisme par lequel les décisions de la banque centrale (taux directeurs) influencent l'activité : coût du crédit, prix des actifs, change.

Le TRI existe-t-il toujours ?

Pour un coût initial suivi de gains positifs, oui et il est unique ; avec des flux de signes alternés, il peut y en avoir plusieurs.

Les pièges qui coûtent des points

Additionner les gains sans les actualiser.
Affirmer l'existence du TRI sans continuité ni changement de signe.
Confondre TRI et taux d'emprunt.

Revoir les notions

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